האם כדאי להשתמש באומדן על ציר המספרים כמדד לתפיסה ולייצוג מנטלי של כמויות

 

 בתחום הקריאה קיימים מבחנים עם נורמות וקיים ידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק אצל ילד מתקשה.  לא כך בחשבון.  בתחום זה חסרים מבחנים עם נורמות וגוף הידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק עדיין מתפתח.  בפוסט זה אעקוב אחר המהמורות בתהליך הפיתוח של מבחן/מטלת אומדן על ציר המספרים.  תהליך הפיתוח חושף בפנינו את הדרך בה ילדים בגילאים שונים ומבוגרים תופסים ומעבדים כמויות.

אחד הדברים שמקובל לבדוק אצל ילד שמתקשה בחשבון הוא מידת הדיוק בתפיסת כמות.  זו המידה שבה הילד יכול להבחין בהבדלים דקים בין כמויות (למשל בהבדל בין ערימה עם 11 חפצים לערימה עם 12 חפצים מאותו סוג).  תפיסת כמות עומדת ככל הנראה בבסיס תפקודים רבים בחשבון, ולכן חוקרים משערים שהיא קשורה לקשיים בחשבון אצל ילדים ומבוגרים.  

אחת הדרכים המקובלות לבדוק תפיסה וייצוג של כמויות אצל ילדים בגיל בי"ס יסודי ואילך ואצל מבוגרים היא באמצעות מטלת אומדן על ציר המספרים. במטלה זו הילד רואה ציר מספרים ריק כאשר רק שני קצותיו מסומנים.  בקצה השמאלי מופיעה הספרה 0 ובקצה הימני – 10 או 100 או 1000 וכדומה.  הילד מתבקש לאמוד את המיקום של מספר מסוים (למשל, 42) על הציר ולסמן מיקום זה בקו.  לאחר שהילד מבצע אומדנים רבים כאלה, הבוחן בודק את מידת הדיוק שלו באמצעות מדידת ההפרשים בין הסימונים של הילד על הצירים לבין המיקומים הנכונים של המספרים שאת מיקומם הילד אמד. 

במחקרים שהשתמשו במטלה זו נמצא שילדים צעירים מייצגים מספרים על ציר המספרים על פי סולם לוגריתמי.  בסולם כזה, המרחקים בין שני מספרים עוקבים הולכים וקטנים ככל שערכם של המספרים עולה.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 גדול מהמרחק בין 8 ל – 9.  ילד בגן או בכיתה א' עשוי למקם את המספר 9 במיקום של המספר 40 על ציר מספרים שבקצותיו 0 ו –  100.  המספר 9 "זז" ימינה אצל הילד מכיוון שהוא תופס את המרחקים בין המספרים 1-9 כגדולים מאד ביחס למרחקים בין המספרים האחרים.  לתפיסתו של הילד, המרחקים בין המספרים 1-9 תופסים  40% מהמקום על ציר מספרים של 0-100.

ככל שהילד גדל ונחשף לתרגילי חשבון וגם לעבודה עם ציר המספרים, ייצוג הכמויות שלו הופך להיות מדויק יותר והאומדנים שלו הופכים ליותר ויותר לינארים.  בסולם לינארי המרחקים בין שני מספרים עוקבים הם קבועים.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 זהה למרחק בין 8 ל – 9.  מידת פחותה של לינאריות של ציר המספרים של הילד ביחס למצופה לגילו יכולה להיות אחד הסמנים לקשיים בחשבון. 

מחקרים מצאו מתאם בין הביצוע במטלה של אומדן על ציר המספרים לבין ביצוע במטלות חשבון כמו מניה, חשבון בסיסי (ובמיוחד חיסור) ואלגברה.  ילדים עם לקות למידה בחשבון מתקשים באומדן על ציר המספרים.  יכולת אומדן על ציר המספרים קשורה ליכולת עתידית ללמוד תרגילי חיבור.  אימון באומדן גורם לשיפור במבחן חיבור.   

כל זה נראה היה די מבטיח עד שלאחרונה החלו חוקרים מסוימים לומר שמטלת האומדן על ציר המספרים אינה בודקת את מה שהיא אמורה לבדוק.  חוקרים אלה הבחינו שילדים ומבוגרים מבצעים את מטלת האומדן באמצעות אסטרטגיות.  למשל, הם מחלקים את ציר המספרים לחצאים או לרבעים (בצורה מנטלית; אסור לסמן נקודות אלה על הציר במהלך ביצוע המטלה).  לאחר מכן הם משתמשים בנקודות ייחוס אלה כדי למקם את המספר שאת מיקומו הם אומדים.  למשל, כאשר הילד מתבקש למקם את המספר 42 על ציר של 0-100, הוא מאתר את נקודת האמצע, בה יהיה המספר 50, ומכיוון ש - 42 קטן מ – 50, הילד זז שמאלה מ – 50 כדי לאמוד את מיקומו.  כך פעולת האומדן מושפעת מידע על המבנה העשרוני של המספר ומיכולת ליצור אסטרטגיה.  לכן אין להתפלא על כך שקיים מתאם בינה לבין מטלות שבודקות חשבון.  בגלל שהיא נשענת על ידע על המבנה העשרוני של המספר, חוקרים אלה טוענים שמטלת האומדן על ציר המספרים לא בודקת את תפיסת הכמות באופן "נקי". 

כדי להתגבר על בעיה זו המציאו החוקרים גירסה חדשה של המטלה:  ציר מספרים בלתי תחום.  בציר כזה, מסומנת הספרה 0 בקצה השמאלי של הציר, בעוד הקצה הימני שלו נשאר ריק.  משמאל לספרה 0 וקרוב מאד אליה מסומן מקטע שיש לו ערך מסוים, למשל 1 או 4 או 10 או אפילו 100.  הילד או המבוגר משתמש במקטע זה כדי לאמוד את מיקום המספר אותו הוא מתבקש לאמוד.  מטלה זו אמורה לבדוק את תפיסת הכמות באופן "נקי" יותר מכיוון שלא ניתן להיאחז בשתי קצוות הציר כדי לחלק אותו לחצאים ולרבעים. 

בתמונה למטה ניתן לראות שני צירי מספרים תחומים (העליונים) ושני צירי מספרים בלתי תחומים (התחתונים). 

מטלה של ציר מספרים לא תחום מושפעת ככל הנראה פחות מהגיל וההתפתחות ולכן עשויה להעיד על איכות תפיסת הכמות המולדת.  מצד שני היא גם פחות קשורה לביצועים בחשבון אצל ילדים בבי"ס יסודי ועד כיתה ז'. האם משמעות הדבר היא שתפיסת כמות אינה משפיעה על ביצועים בחשבון?  בכל מקרה, אם מטלה זו אינה קשורה לביצועים בחשבון, קשה להצדיק את השימוש בה כדי לאתר את המקור לקשיים אצל ילדים שמתקשים בחשבון, אלא אם כן יוכח מחקרית שילדים שמתקשים בחשבון מתקשים יותר גם בביצוע במטלה של ציר מספרים לא תחום.  למיטב ידיעתי עדיין לא פורסם מחקר כזה בילדים.  van Wijk  מצא בתזה לתואר שני שלא פורסמה שאין הבדל ביכולת האומדן על ציר מספרים לא תחום בין ילדים עם לקות למידה בחשבון לבין ילדים ללא לקות למידה בחשבון.  גם בין מבוגרים עם ובלי דיסקלקוליה לא נמצאו הבדלים בביצוע אומדן על ציר מספרים בלתי תחום  (van der Weijden et al., 2018). 

אם כך, יש למצוא מטלת אומדן על ציר מספרים שבה לא ניתן להשתמש באסטרטגיה מצד אחד, ושיש מתאם בינה לבין ביצועים במבחני חשבון מצד שני. 

 

van der Weijden, F.A., Kamphorst, E., Willemsen, R.H., Kroesbergen, E.H., & van Hoogmoed, A.H. (2018). Strategy use on bounded and unbounded number lines in typically developing adults and adults with dyscalculia: An eye-tracking study. Journal of Numerical Cognition, 4, 337-359.

Jung, S., Roesch, S., Klein, E., Dackermann, T., Heller, J., & Moeller, K. (2020). The strategy matters: Bounded and unbounded number line estimation in secondary school children. Cognitive Development, 53, 100839.

Link, T., Nuerk, H. C., & Moeller, K. (2014). On the relation between the mental number line and arithmetic competencies. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 67(8), 1597-1613.