איך בנוי הייצוג המולד של כמויות? רמז: לא כפי שבנויה מערכת המספרים השלמים

 Laski, E. V., & Siegler, R. S. (2007). Is 27 a big number? Correlational and causal connections among numerical categorization, number line estimation, and numerical magnitude comparison. Child Development, 78(6), 1723-1743.‏  http://www.psy.cmu.edu/~siegler/laskisieg07.pdf

   Butterworth, B. (2005). The development of arithmetical abilities. Journal of Child Psychology and Psychiatry, 46(1), 3-18.‏

מערכת המספרים השלמים בנויה בצורה לינארית.  משמעות הדבר היא שהמרחק בין שני מספרים שלמים עוקבים הוא קבוע בלי קשר לגודלם.  למשל, המרחק בין המספרים 3 ו – 4 זהה למרחק שבין המספרים 303 ו – 304 ולמרחק שבין המספרים 3453 ו – 3454.

אבל הייצוג המולד של כמויות אינו בנוי כך.

יש בכלל ייצוג מולד של כמויות? 

מסתבר שכן!

הן תינוקות אנושיים והן חיות נולדים עם יכולת לתפוס כמויות.  חיות מבחינות בין כמויות קטנות כמו 1,2 ו – 3.  לדוגמה, הן יכולות ללמוד ללחוץ על דוושה 1,2 או 3 פעמים כדי לקבל מזון.

תינוקות בני 4 חדשים מסוגלים להבחין בין כמויות של 1,2,3 או 4 פריטים.  תינוקות בני 6 חדשים יכולים להבחין בין מקבצים של 4 ל – 8  פריטים או של 8 ל – 16 פריטים (כלומר, מסוגלים להבחין בין כמויות ביחס של אחד לשתיים).   קיימים גם הבדלים בינאישיים:  הבדלים בין תינוקות ביכולת להבחין בין כמויות מתגלים כבר בגיל 6 חדשים. 

איך בנוי הייצוג המולד של כמויות?

מסתבר, שהייצוג המולד של יחסים בין כמויות הוא לוגריתמי.  משמעות הדבר היא, שהמרחק בין כמויות קטנות עוקבות נתפס כגדול מכפי שהוא אמור להיות במערכת המספרים השלמים (שהיא, כאמור, לינארית), ואילו המרחק בין כמויות גדולות עוקבות נתפס כקטן מכפי שהוא אמור להיות במערכת המספרים השלמים.  בייצוג המולד, המרחק בין 3 ל – 4 נתפס כגדול מהמרחק ביניהם במערכת המספרים השלמים, ואילו המרחק בין 303 ל – 304 נתפס כקטן מהמרחק ביניהם במערכת המספרים השלמים.  המרחק בין 3 ל – 4 נתפס כגדול מהמרחק בין 303 ל – 304.   כלומר, בייצוג המולד המספרים הקטנים "מרווחים" ואילו המספרים הגדולים "מצופפים".

הנה דוגמה נוספת להבדל בין מבנה הייצוג המולד (הלוגריתמי) לבין מבנה מערכת המספרים השלמים (הלינארית).  במערכת לינארית, המרחק בין המספרים 2 ו – 5 שווה למרחק בין המספרים 89 ו – 92.  במערכת לוגריתמית, המרחק בין 2 ל – 5 גדול ביותר מפי שלושים מהמרחק בין 89 ל – 92. 

איך יודעים שהייצוג המולד הוא לוגריתמי?

באמצעות משימות כאלה:

אומדן על ציר המספרים:  מבקשים מילדים לסמן על צירי מספרים שבין 0 ל – 100 את המקומות בהם הם חושבים שצריכים להיות מספרים נתונים (למשל, לסמן בקו את המקום בו צריך להיות המספר 34 על ציר של 0-100).  במשימה זו ניתן לראות שילד בן 5 אומד את הרווח בין מספרים קטנים כגדול מכפי שהוא אמור להיות ולעומת זאת מצמצם את הרווח שאמור להיות בין מספרים גדולים.   

הערכת כמות:  מראים לילדים על מסך מחשב מיכל שיש בו "נקודה" אחת ומיכל אחר שיש בו 1000 "נקודות".  הילד מתבקש ללחוץ ברצף על מקש עד שהוא מעריך שמיכל שלישי התמלא בכמות מסויימת של "נקודות", נניח ב – 368 "נקודות" (לילד אין אפשרות לספור ועליו לאמוד את הכמות במיכל השלישי). 

הערכת מדידה:  מראים לילדים קו מאד קצר ואומרים להם שהקו הזה הוא באורך "זיפ" אחד.  מראים להם קו אחר שהוא באורך של 1000 "זיפ".  הילד מתבקש לצייר קווים באורכים שונים של "זיפ".

 במשימות כאלה, ילדים בגן חובה מייצגים כמויות של 0-100 באופן לוגריתמי ("מצופפים" את המרחק בין המספרים הגדולים ו"מרחיבים" את המרחק בין המספרים הקטנים).  במהלך ההתפתחות ילדים עוברים באופן הדרגתי מייצוג לוגריתמי לייצוג לינארי – בטווח המספרים המוכר להם.  בעוד שילד בגן חובה ייצג כמויות של 0-100 באופן לוגריתמי, ילד בכיתה ב' ייצג כמויות אלה באופן לינארי, אך ייצג כמויות על סקאלה של 0-1000 באופן לוגריתמי.  ילד בכיתה ד' כבר ייצג כמויות של 0-1000 באופן לינארי.   גם אצל מבוגרים, הייצוג של מספרים גדולים מאד, בהם איננו משתמשים הרבה באופן יומיומי, הוא לוגריתמי.  זו אולי הסיבה לכך שאנשים מתבלבלים מדי פעם בין כמויות בסדרי גודל של מיליונים, ביליונים וטריליונים.

מידת הלינאריות של הייצוג של כמויות נמצאת במתאם עם ההישגים של ילדים בחשבון.  כלומר, ככל שהייצוג יותר לינארי, כך ההישגים בחשבון טובים יותר.   הבדלים בין ילדים במידת הלינאריות של ייצוג הכמויות יכולים להסביר הבדלים בהישגים בחשבון.  ייצוג לוגריתמי עלול לגרום לטעויות באומדן של כמויות גדולות.  כאשר ילד מבצע אומדן, הוא מעריך עד כמה התוצאה שהוא קיבל היא סבירה.  אם הייצוג של אותו ילד הוא לוגריתמי, מספרים גדולים ייוצגו אצלו כ"צפופים" מכפי שהם אמורים להיות וזה עלול להטות את האומדן שהוא מבצע.