כיצד אנו קוראים וכותבים מספרים רב ספרתיים?

לפוסט זה נוספה הערה בתאריך 21.7.19 - ראו בצבע כחול

Verguts, T., & Fias, W. (2006). Lexical and syntactic structures in a connectionist model of reading multi-digit numbers. Connection Science, 18(3), 265-283.‏

כאשר מבקשים מילדים לקרוא ולכתוב מספרים רב ספרתיים נתקלים לעתים בתופעות כאלה:  הילד מתבקש לכתוב 345  וכותב:  300405.  הילד מתבקש לקרוא את המספר 1005 וקורא "105".  תמיד הסתקרנתי לדעת מה ההסבר לטעויות אלה.  ההשערה שלי היתה שטעויות אלה קשורות לתחביר/דקדוק.  כפי שסדר המלים במשפט קובע את משמעות המשפט, וכאשר משנים את סדר המלים משמעות המשפט משתנה, כך סדר הספרות במספר קובע את משמעות המספר.  החלפת סדר הספרות משנה את המשמעות.  זה לדעתי היבט תחבירי של קריאה וכתיבת מספרים.  מיקום הספרה במספר קובע את ערכה החשבוני.  כאשר כותבים 345 כותבים את המספרים "זה מעל זה".  כלומר המספר 40 "כתוב מעל" שני האפסים של המספר 300 והמספר 5 "כתוב מעל" האפס במספר 40.  כלומר, כדי לכתוב את המספר בצורה הנכונה צריך לשלוט בכללי כתיבה מסוימים.  זה לדעתי ההיבט הדקדוקי של קריאה וכתיבת מספרים. 

האם השערות אלה נתמכות בספרות?  אם כן, ניתן לשער שלילדים עם קשיים משמעותיים בקריאה ובכתיבה של מספרים יש גם קשיים משמעותיים בתחביר ובדקדוק בשפה.  האם זה כך?     

Varley et al. 2005 מתארים שלושה אנשים פגועי ראש שהיו פגועים מאד בדקדוק, אך הצליחו לקרוא מספרים ולכתוב אותם מהכתבה בצורה מושלמת.  כלומר, לקות בשפה לא בהכרח פוגעת ביכולת לקרוא ולכתוב מספרים. 

שפה כן משפיעה על היבטים אחרים של חשבון, אבל גם שם לא ניתן לומר באופן חד משמעי שבכל פעם שיש פגיעה בשפה אותו היבט חשבוני נפגע.  הפרעות בשפה ופגיעה בשליפה של עובדות חשבון מתרחשות לעתים קרובות ביחד ויכולות להיות קשורות.  אצל אנשים שיש להם לקות בשפה כתוצאה מפגיעות ראש, יש תדירות גבוהה יותר של קשיים בשליפה של לוח הכפל.  דו לשוניים (למשל, באנגלית-רוסית) יכולים לבצע אומדן בשתי השפות באופן יעיל באותה מידה.  אבל עובדות חשבון מדויקות, למשל לוח הכפל, נשלפות ביעילות גבוהה יותר בשפה בה עובדות אלה נלמדו  .(Domahs  & Delazer,  2005)  

חוקרים מסוימים כמו Hauser et al. 2002, Semenza et al. 2004   חושבים (כמוני) שפעולות חשבון דורשות רגישות למבנה, שהיא דומה לרגישות תחבירית.  למשל, כשפותרים 5 × (6 + 1) צריך להבין שההכפלה בחמש מתייחסת לכל מה שכתוב בסוגריים.  אולי זה דומה למשפט "המורה שבכיתתה ילדה שמצליחה במתמטיקה קיבלה פרס".  במשפט זה צריך להבין שמי שקיבל את הפרס זו המורה ולא הילדה ושהביטוי "שבכיתתה ילדה שמצליחה במתמטיקה" גם הוא מתאר את המורה.  ככל הנראה תאוריות אלה לא נבדקו מספיק.

מצד שני, ראינו בפוסט קודם שמתמטיקה ועיבוד שפה אינם מתבצעים באותם אזורים במוח.  משפטים מתמטים ("סכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות") מעוררים אזורים שונים במוח ממשפטים שאינם מתמטים.  אזורים אלה מעוררים בעוצמה גבוהה יותר אצל מתמטיקאים מאשר אצל אנשים שאינם מתמטיקאים.  אצל מתמטיקאים אזורים אלה במוח גדולים יותר Amalric & Dehaene,  2018).  

Verguts & Fias (2006) מציעים שקריאה וכתיבה של מספרים מתבצעת בשני נתיבים:  נתיב סמנטי ונתיב א-סמנטי. 

כאשר ילד קורא או כותב מספר באמצעות הנתיב הסמנטי, הוא מתייחס למשמעות הכמותית של המספר. 

החוקר McCloskey מציע דרך אחת לקרוא/לכתוב מספרים בנתיב הסמנטי:  פירוק המספר למבנה העשרוני שלו.  למשל אם הילד צריך לכתוב את המספר 345, הוא מפרק אותו קודם כל ל – 100X3 + 10X4 + 5.  הילד מבצע את הפירוק הזה באמצעות יישום של כללים ("דקדוקיים?" "תחביריים?").  לאחר שהגיע לייצוג הסמנטי הזה של המספר, הוא בונה ממנו את הייצוג של המספר בפורמט הנדרש (מספר כתוב). 

החוקר Dehaene  וחבריו מציעים דרך שניה לקריאה או כתיבת מספרים בנתיב הסמנטי.  לאחר זיהוי המספר, הילד ממקם אותו על ציר מספרים מנטלי.  מכיוון שציר המספרים מקודד את המשמעות הכמותית של מספרים, מיקום של מספר על ציר המספרים המנטלי הוא עיבוד סמנטי של המספר.  ציר המספרים המנטלי מאפשר לבצע במספר תהליכי עיבוד שונים, כמו למשל להשוות את גודלו לגודל של מספרים אחרים.  עבור המספרים הקטנים, בהם אנו נתקלים הרבה מאד בחיי היומיום, קיים חיבור חזק בין המיקום על הציר לתגובה המילולית הרלוונטית.  למשל, עבור המספר 1, התגובה הרלוונטית היא "אחד".  כך נעשית המרה של מספרים קטנים מפורמט לפורמט (דבור לכתוב ולהיפך) דרך ציר המספרים, שהוא נתיב סמנטי.     

מודל זה של דהאן מתאים רק למספרים קטנים שמופיעים הרבה בחיי היומיום (אלה יכולים להיות גם מספרים דו ספרתיים כמו 50 או 25).  המספרים מעל 100 מופיעים בתדירות נמוכה בחיי היומיום.  מספרים גדולים, למשל 548, מופיעים בתדירות כה נמוכה שלא נוצר קשר בין מיקום ספציפי שלהם על ציר המספרים המנטלי לבין הקוד המילולי שלהם ("חמש מאות ארבעים ושמונה").  לכן כדי להמיר מספר כמו 548 לפורמט מילולי (ולהיפך), נדרש נתיב אחר, נתיב א- סמנטי.

כאשר ילד קורא או כותב מספר באמצעות הנתיב הא-סמנטי, הוא לא צריך לפרק את המספר למבנה העשרוני שלו, ואולי אפילו לא צריך לשלוט במבנה העשרוני של המספר או להבין את המשמעות הכמותית של המספר.  הילד פשוט מפעיל כללים לקסיקלים ותחביריים ישירות על הקלט שאותו הוא מעביר לפורמט אחר (למשל, מקלט בפורמט של מספר כתוב לפלט בפורמט של מספר דבור). 

עדות לקיומו של הנתיב הא-סמנטי היא הימצאותם של אנשים עם פגיעות ראש שיש להם הבנה תקינה של המשמעות הכמותית של המספר (כלומר סמנטיקה תקינה) ועדיין יש להם קשיים בקריאה ובכתיבה של מספרים.  הנתיב הסמנטי לבדו לא יכול להסביר תופעות כאלה. 

בנתיב הא-סמנטי הילד מפעיל סט של כללים כדי להמיר מספר לפורמט אחר.  אך מאין מגיעים הכללים הללו? איך הם נרכשים?  ורגוטס ופיאס טוענים שילדים לומדים לקרוא ולכתוב מספרים גדולים באמצעות תרגול רב עם משוב מיידי.  אין צורך ללמד את כללי ההמרה באופן מפורש.  הילד מחלץ אותם מתוך ההתנסות.

כך, ורגוטס ופיאס טוענים שקיימים שני נתיבים לקריאה וכתיבה של מספרים - אחד סמנטי ומבוסס על ציר המספרים המנטלי והשני אסמנטי.  ניתן לקרוא ולכתוב מספרים קטנים ושכיחים הן בנתיב הסמנטי והן בנתיב האסמנטי.  מספרים גדולים ניתן לקרוא ולכתוב רק בנתיב האסמנטי. 

קריאה וכתיבה של מספרים רב ספרתיים דורשת הפעלה של כללים.  כללים אלה דומים בעיני לכללי דקדוק ותחביר.  אך ייתכן שגם חשיבה לא לשונית, למשל עיבוד חזותי, נשענת על כללים.   כך יכול ילד להיות בעל שפה תקינה אך קושי בקריאה וכתיבה של מספרים, ולהיפך. 

Amalric, M., & Dehaene, S. (2018). Cortical circuits for mathematical knowledge: evidence for a major subdivision within the brain's semantic networks. Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 373(1740), 20160515.‏

Domahs, F. R. A. N. K., & Delazer, M. (2005). Some assumptions and facts about arithmetic facts. Psychology Science, 47(1), 96-111.‏

M.D. Hauser, N. Chomsky and W.T. Fitch, “The faculty of language: What is it, who has it, and how did it evolve?”, Science, 298, pp. 1569–1579, 2002

C. Semenza, M. Delazer, L. Bartha, F. Domahs, L. Bertella,A. Grana, I. Mori, R. Pignatti and F.M. Conti, “Mathematics in right hemisphere aphasia: a case series study”, Brain Language, 91, pp. 164–165, 2004.

R.A. Varley, N.J.C. Klessinger, C.A.J. Romanowski and M. Siegal, “Agrammatic but numerate”, Proc. Natl Acad. Sci. USA, 102, pp. 3519–3524, 2005