סוגי קשיים ושגיאות בחשבון ומקורותיהם

כפסיכולוגים חינוכיים יש לנו לא מעט ידע על מקורותיהם של קשיים שונים בקריאה ושל סוגים שונים של שגיאות כתיב.  מה לגבי חשבון?  חשוב מאד לדעתי להרחיב את הידע שלנו בתחום זה.  הצלחה של ילד בחשבון בבי"ס פותחת בפניו אפשרויות לימודים ותעסוקה עתידיים שיכולים להוביל אותו לרווחה כלכלית ועל הדרך גם להועיל למדינה.

החוקרים Domahs & Delazer (2005) מבחינים בין שלושה תחומי ידע בחשבון:  ידע המשגתי, ידע פרוצדורלי וידע של עובדות החשבון.

ידע המשגתי הוא ידע על חוקים, כללים ומושגים חשבוניים.  ילד שמתקשה בסוג זה של ידע לא יכיר, למשל, את חוק החילוף; יתקשה לבצע משימות בהנדסה מכיוון שאינו שולט במושג "קווים מקבילים" או במושג "משולש שוה שוקיים"; יפרש את המושג "פי שתיים" כ – "חצי" ויפעל בהתאם, וכן הלאה.  חוסר בידע מושגי עשוי להיות סמוי מהעין.  למשל, ילד עולה חדש עשוי לשלוט במושגים בשפת האם אך לא להכיר אותם בעברית.  ילד יליד הארץ עשוי לא להיות מודע לכך שהוא מבין מושג חשבוני באופן לא מדויק.  חשוב שמורים יקדישו זמן לרענון מחודש של משמעותם של מושגים שונים ולא יצאו מנקודת הנחה שכל התלמידים בכיתה שולטים בהם.  כשאנו בודקים ילד, חשוב לבדוק אם שגיאה שהוא עשה נובעת מחוסר שליטה במושג הרלוונטי.

ידע פרוצדורלי הוא שליטה של הילד בפרוצדורות חשבוניות כמו חילוק או כפל במאונך, או סדר פעולות חשבון.  פרוצדורות אלה מורכבות מסדרה של פעולות שיש לבצע ברצף מסוים.  אימון חוזר ונשנה עוזר להפוך פרוצדורה כזו לאוטומטית.  יש ילדים שזקוקים לכמות רבה יותר של אימון כדי להפעיל פרוצדורות חשבוניות באופן תקין.  לעתים ילד יוכל להסתייע בתומכי זיכרון (למשל, כדי לזכור את סדר פעולות החשבון).

ידע על עובדות החשבון  הוא היכולת לשלוף את עובדות החשבון באופן אוטומטי ממאגר הידע. ילד בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי צריך להיות מסוגל לשלוף באופן אוטומטי פתרונות לתרגילי כפל חד ספרתיים בהם שני האופרנדים קטנים/שווים ל – 6 (התרגילים עד 6X6).   ילדים ומבוגרים רבים שולפים גם כפולות של 7,8 ו – 9 באופן אוטומטי.  אך יש ילדים ומבוגרים שמתפקדים בחשבון באופן תקין לחלוטין ועדיין אינם שולפים כפולות של 7,8 ו - 9 אלא פותרים אותן באמצעות חישוב עזר.  למשל, כדי לפתור 7X8 מבוגר בעל יכולת תקינה בחשבון עשוי לשלוף 49=7X7 ולהוסיף 7. 

הנה הצעה למיפוי שגיאות בשליפה של תרגילי כפל ומשמעויותיהן.  אני מתייחסת למצב בו הילד ששגה לומד בכיתות הגבוהות של בי"ס היסודי ומעלה (כלומר, כבר למד את לוח הכפל ותירגל אותו היטב).

28=6X4.  ילד זה שלף כפולה אחרת של האופרנד 4.  הכפולה שנשלפה קרובה מבחינה כמותית לפתרון הנכון.  המשמעות היא שהילד מכיר את "משפחת" כפולות הארבע.  כאשר הוא נתקל בתרגיל של כפל בארבע, התרגיל מעורר את כפולות הארבע האחרות במאגר הידע של הילד.  זהו מצב תקין וטוב.  מרבית השגיאות שאנשים עושים בכפל הן כפולות קרובות של אחד האופרנדים (ראו מחקר של אביטל רותם ואבישי הניק המצוטט למטה).   סוג שגיאה זה הוא הקל ביותר, ויתכן שאימון נוסף בלוח הכפל יפתור בעיה זו. 

48=6X4.  גם ילד זה שלף כפולה אחרת של האופרנדים.  אבל הפתרון שהילד שלף רחוק מאד מבחינה כמותית מהפתרון האמיתי.  שגיאה כזו עלולה לרמוז על כך שחוש הכמות של הילד אינו חד מספיק.  הילד לא מבחין שהפתרון "לא הגיוני" או "רחוק" ממה שהוא צריך להיות.  ילד זה יפיק תועלת מאימון הכולל התייחסות לגודל הכמותי של הפתרון.  למשל, אפשר לתת לו למקם את התרגיל 6X4 (כשהוא לא פתור) ותרגילי כפל נוספים על ציר מספרים של 0-100.

23=6X4.  ילד זה נתן פתרון שאינו נמצא כלל בלוח הכפל.  יתכן שהוא הגיע לפתרון בעקבות חישוב מוטעה.  בכל אופן, לילד ככל הנראה אין "מאגר" של פתרונות אפשריים לתרגילי כפל.  לכן הוא לא מבחין בכך שהפתרון אליו הגיע לא יכול להיות נכון.  אני חושבת שזה דומה למצב בו מילה מסוימת לא נמצאת בלקסיקון האורתוגרפי, ולכן הילד לא מבחין שהיא כתובה בשגיאת כתיב.  אם המלה "שולחן" לא קיימת בלקסיקון האורתוגרפי, הילד לא מבחין ש"שולכן" "לא נראה טוב" ולא יכול להיות כתוב נכון.  ילד זה זקוק לאימון בזיהוי ובהבחנה בין פתרונות שנמצאים בלוח הכפל לפתרונות שאינם נמצאים בלוח הכפל. 

1=6X1; 6=0X6; 28=6X5  שלוש השגיאות האלה מעידות על כך שהילד אינו שולט בכלל.  כפולות של אפס וכפולות של אחד אינן נשלפות ממאגר הידע אלא נפתרות באמצעות יישום כלל.  כפולות של חמש נשלפות ממאגר הידע אך הן מצייתות לכלל לפיו ספרת האחדות בפתרון היא תמיד 5 או 0.  ילד זה זקוק לחידוד של הכלל ולאימון בישום שלו.

...=4X3  הילד אינו שולף את הפתרון באופן אוטומטי אלא מחשב אותו, למשל באצבעותיו.  נזכיר שמדובר בילד שלומד בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי ואילך.  ילד זה אמור לשלוף תרגילי כפל עם אופרנדים קטנים באופן אוטומטי.  יתכן שלילד יש קושי ביצירת הקשר האסוציאטיבי בזיכרון בין התרגיל לפתרונו (כלומר קושי בלמידה ו/או אחסון ו/או שליפה מהזיכרון לטווח ארוך).  ייתכן שלילד יש קושי בתפיסת כמות שעומד בבסיס הקושי שלו ללמוד תרגילי כפל פשוטים.  לילד זה יש בעיה בסיסית קשה בחשבון.  ייתכן שהוא יכול להיעזר באימון בתפיסת כמות (הבחנה בין כמויות של נקודות), או בקישור בין כמות למספר.  אם אימון כזה ושינון חוזר של התרגילים הפשוטים לא עוזרים, יתכן שאין מנוס מלהנחות את הילד להשתמש במחשבון.

63....=9X7  הילד אינו שולף את הפתרון באופן אוטומטי אלא מחשב אותו באמצעות תרגיל עזר.  למשל, הילד מחשב 70=10X7  ואז מפחית 7.  זהו ביצוע תקין שאינו מעיד על בעיה כלשהיא.

63...=7+7+7+7+7+7+7+7+7=9X7 ילד זה מבצע פרוצדורה לא יעילה, שמעמיסה מאד על זיכרון העבודה שלו ומן הסתם לא תמיד מובילה אותו לפתרון הנכון.  גם הוא מתמודד עם בעיה בסיסית קשה בחשבון, שיתכן שנובעת מקושי בתפיסת כמות.  גם ילד כזה יוכל להיעזר במחשבון אם אימון בתפיסת כמות או אימון בביצוע תרגיל עזר יעיל יותר לא יועיל לו. 

Domahs, F. & Delazer, M. (2005). Some assumptions and facts about arithmetic facts. Psychology Science, 47(1), 96-111.‏

Rotem, A., & Henik, A. (2015). Development of product relatedness and distance effects in typical achievers and in children with mathematics learning disabilities. Journal of learning disabilities, 48(6), 577-592.