ניתן לשפר את יכולת העיבוד החזותי, וכך לחזק גם את היכולת המתמטית.

Lowrie, T., Logan, T., & Ramful, A. (2017). Visuospatial training improves elementary students’ mathematics performance. British Journal of Educational Psychology, 87(2), 170-186.‏

כשמגיע אלינו ילד עם קושי באחד מתחומי ההישג (קריאה, כתיבה או חשבון) אנו בודקים אם יש לקושי זה סיבה קוגניטיבית.  כלומר, האם הקושי נובע מהנמכה ביכולת קוגניטיבית אחת או יותר.  אם מצאנו יכולת קוגניטיבית נמוכה שיכולה להסביר את הקושי בתחומי ההישג, נמליץ על התערבות לשיפור הביצוע של הילד ביכולת הקוגניטיבית הזו.  זאת מתוך הנחה ששיפור היכולת הקוגניטיבית יוביל לשיפור בתחום ההישג הנמוך.

מודל עבודה זה עומד לאחרונה תחת ביקורת, למשל כמו זו של ג'ק פלטשר שנסקרה בעבר בבלוג זה.  בבסיס הביקורת נשמע הטיעון, שאין מספיק מחקרי התערבות שבדקו את ההנחה ששיפור יכולות קוגניטיביות יכול להוביל לשיפור בתחומי ההישג.  Lowrie וחבריו ביצעו מחקר כזה. 

החוקרים הסבירו למורים את ההשפעות האפשרויות של עיבוד חזותי על מתמטיקה, וגייסו אותם לבנות שיעורים שכללו אימון חזותי מרחבי.   במסגרת תכנית ההתערבות הילדים תירגלו רוטציה מנטלית בדו ובתלת מימד, ציור מפה וניווט בעזרת מפה, שמירה על אוריינטציה מסביב לנקודות התייחסות, פרספקטיבה חזותית (לראות סצינה מנקודות מבט שונות - מלמעלה, מהחזית ומהצד), קיפולי נייר, פריסות של גופים, השתקפות וסימטריה, וספירת מספר הקוביות המרכיבות מבנה תלת מימדי. החוקרים עודדו את המורים להמליל את תהליך העבודה שלהם ושל התלמידים ככל הניתן, וכן להדגיש היבטים מרחביים בסביבה הטבעית של הכיתה ובית הספר.  כל מורה הוסיף לתכנית נופך משלו והתאים אותה למאפייני התלמידים בכיתתו. 

ההתערבות הועברה על ידי מחנכים של תלמידי כיתה ו' בשמונה כיתות (120 תלמידים) במשך 10 שבועות, שעתיים בשבוע, במקום שעות לימוד במתמטיקה שהיו אמורות להתקיים באותן שעות.  קבוצת ביקורת של שתי כיתות למדה במהלך זמן זה את תכנית הלימודים הרגילה במתמטיקה.

החוקרים בדקו את יכולת העיבוד החזותי ואת היכולת המתמטית של התלמידים בכל הכיתות לפני ואחרי ההתערבות.  תלמידים שהשתתפו בתכנית האימון החזותי-מרחבי קיבלו ציונים גבוהים משמעותית בעיבוד חזותי מאשר תלמידים בקבוצת הביקורת.  תכנית ההתערבות החזותית ניתנה כאמור במקום שיעורי המתמטיקה.  למרות זאת, הקבוצה שקיבלה התערבות הראתה שיפור רחב היקף בשליטה במושגים מתמטים ביחס לקבוצת הביקורת, שלמדה את תכנית הלימודים הרגילה במתמטיקה בתקופת ההתערבות.  השיפור היה שקול להתפתחות של שנת לימודים שלמה! 

הצלחת תכנית ההתערבות מבוססת על שתי הנחות שמקבלות תמיכה מחקרית גוברת והולכת:

       א.  ניתן לשפר את יכולת העיבוד החזותי באמצעות אימון. 

       ב.  קיים מתאם חיובי בין ביצוע מתמטי לבין יכולת מרחבית.  ככל הנראה היכולת ליצור דימוי מנטלי חזותי ולבצע בו מניפולציות (למשל, רוטציה מנטלית) עוזרת מאד במשימות מתמטיות שונות, למשל בגיאומטריה.  דימוי חזותי עוזר לפתור בעיות מילוליות, כי הוא עוזר לראות את המצב המתואר בבעיה בעיני רוחנו וכך להבין אותו טוב יותר. 

כיצד אנו קוראים וכותבים מספרים רב ספרתיים?

לפוסט זה נוספה הערה בתאריך 21.7.19 - ראו בצבע כחול

Verguts, T., & Fias, W. (2006). Lexical and syntactic structures in a connectionist model of reading multi-digit numbers. Connection Science, 18(3), 265-283.‏

כאשר מבקשים מילדים לקרוא ולכתוב מספרים רב ספרתיים נתקלים לעתים בתופעות כאלה:  הילד מתבקש לכתוב 345  וכותב:  300405.  הילד מתבקש לקרוא את המספר 1005 וקורא "105".  תמיד הסתקרנתי לדעת מה ההסבר לטעויות אלה.  ההשערה שלי היתה שטעויות אלה קשורות לתחביר/דקדוק.  כפי שסדר המלים במשפט קובע את משמעות המשפט, וכאשר משנים את סדר המלים משמעות המשפט משתנה, כך סדר הספרות במספר קובע את משמעות המספר.  החלפת סדר הספרות משנה את המשמעות.  זה לדעתי היבט תחבירי של קריאה וכתיבת מספרים.  מיקום הספרה במספר קובע את ערכה החשבוני.  כאשר כותבים 345 כותבים את המספרים "זה מעל זה".  כלומר המספר 40 "כתוב מעל" שני האפסים של המספר 300 והמספר 5 "כתוב מעל" האפס במספר 40.  כלומר, כדי לכתוב את המספר בצורה הנכונה צריך לשלוט בכללי כתיבה מסוימים.  זה לדעתי ההיבט הדקדוקי של קריאה וכתיבת מספרים. 

האם השערות אלה נתמכות בספרות?  אם כן, ניתן לשער שלילדים עם קשיים משמעותיים בקריאה ובכתיבה של מספרים יש גם קשיים משמעותיים בתחביר ובדקדוק בשפה.  האם זה כך?     

Varley et al. 2005 מתארים שלושה אנשים פגועי ראש שהיו פגועים מאד בדקדוק, אך הצליחו לקרוא מספרים ולכתוב אותם מהכתבה בצורה מושלמת.  כלומר, לקות בשפה לא בהכרח פוגעת ביכולת לקרוא ולכתוב מספרים. 

שפה כן משפיעה על היבטים אחרים של חשבון, אבל גם שם לא ניתן לומר באופן חד משמעי שבכל פעם שיש פגיעה בשפה אותו היבט חשבוני נפגע.  הפרעות בשפה ופגיעה בשליפה של עובדות חשבון מתרחשות לעתים קרובות ביחד ויכולות להיות קשורות.  אצל אנשים שיש להם לקות בשפה כתוצאה מפגיעות ראש, יש תדירות גבוהה יותר של קשיים בשליפה של לוח הכפל.  דו לשוניים (למשל, באנגלית-רוסית) יכולים לבצע אומדן בשתי השפות באופן יעיל באותה מידה.  אבל עובדות חשבון מדויקות, למשל לוח הכפל, נשלפות ביעילות גבוהה יותר בשפה בה עובדות אלה נלמדו  .(Domahs  & Delazer,  2005)  

חוקרים מסוימים כמו Hauser et al. 2002, Semenza et al. 2004   חושבים (כמוני) שפעולות חשבון דורשות רגישות למבנה, שהיא דומה לרגישות תחבירית.  למשל, כשפותרים 5 × (6 + 1) צריך להבין שההכפלה בחמש מתייחסת לכל מה שכתוב בסוגריים.  אולי זה דומה למשפט "המורה שבכיתתה ילדה שמצליחה במתמטיקה קיבלה פרס".  במשפט זה צריך להבין שמי שקיבל את הפרס זו המורה ולא הילדה ושהביטוי "שבכיתתה ילדה שמצליחה במתמטיקה" גם הוא מתאר את המורה.  ככל הנראה תאוריות אלה לא נבדקו מספיק.

מצד שני, ראינו בפוסט קודם שמתמטיקה ועיבוד שפה אינם מתבצעים באותם אזורים במוח.  משפטים מתמטים ("סכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות") מעוררים אזורים שונים במוח ממשפטים שאינם מתמטים.  אזורים אלה מעוררים בעוצמה גבוהה יותר אצל מתמטיקאים מאשר אצל אנשים שאינם מתמטיקאים.  אצל מתמטיקאים אזורים אלה במוח גדולים יותר Amalric & Dehaene,  2018).  

Verguts & Fias (2006) מציעים שקריאה וכתיבה של מספרים מתבצעת בשני נתיבים:  נתיב סמנטי ונתיב א-סמנטי. 

כאשר ילד קורא או כותב מספר באמצעות הנתיב הסמנטי, הוא מתייחס למשמעות הכמותית של המספר. 

החוקר McCloskey מציע דרך אחת לקרוא/לכתוב מספרים בנתיב הסמנטי:  פירוק המספר למבנה העשרוני שלו.  למשל אם הילד צריך לכתוב את המספר 345, הוא מפרק אותו קודם כל ל – 100X3 + 10X4 + 5.  הילד מבצע את הפירוק הזה באמצעות יישום של כללים ("דקדוקיים?" "תחביריים?").  לאחר שהגיע לייצוג הסמנטי הזה של המספר, הוא בונה ממנו את הייצוג של המספר בפורמט הנדרש (מספר כתוב). 

החוקר Dehaene  וחבריו מציעים דרך שניה לקריאה או כתיבת מספרים בנתיב הסמנטי.  לאחר זיהוי המספר, הילד ממקם אותו על ציר מספרים מנטלי.  מכיוון שציר המספרים מקודד את המשמעות הכמותית של מספרים, מיקום של מספר על ציר המספרים המנטלי הוא עיבוד סמנטי של המספר.  ציר המספרים המנטלי מאפשר לבצע במספר תהליכי עיבוד שונים, כמו למשל להשוות את גודלו לגודל של מספרים אחרים.  עבור המספרים הקטנים, בהם אנו נתקלים הרבה מאד בחיי היומיום, קיים חיבור חזק בין המיקום על הציר לתגובה המילולית הרלוונטית.  למשל, עבור המספר 1, התגובה הרלוונטית היא "אחד".  כך נעשית המרה של מספרים קטנים מפורמט לפורמט (דבור לכתוב ולהיפך) דרך ציר המספרים, שהוא נתיב סמנטי.     

מודל זה של דהאן מתאים רק למספרים קטנים שמופיעים הרבה בחיי היומיום (אלה יכולים להיות גם מספרים דו ספרתיים כמו 50 או 25).  המספרים מעל 100 מופיעים בתדירות נמוכה בחיי היומיום.  מספרים גדולים, למשל 548, מופיעים בתדירות כה נמוכה שלא נוצר קשר בין מיקום ספציפי שלהם על ציר המספרים המנטלי לבין הקוד המילולי שלהם ("חמש מאות ארבעים ושמונה").  לכן כדי להמיר מספר כמו 548 לפורמט מילולי (ולהיפך), נדרש נתיב אחר, נתיב א- סמנטי.

כאשר ילד קורא או כותב מספר באמצעות הנתיב הא-סמנטי, הוא לא צריך לפרק את המספר למבנה העשרוני שלו, ואולי אפילו לא צריך לשלוט במבנה העשרוני של המספר או להבין את המשמעות הכמותית של המספר.  הילד פשוט מפעיל כללים לקסיקלים ותחביריים ישירות על הקלט שאותו הוא מעביר לפורמט אחר (למשל, מקלט בפורמט של מספר כתוב לפלט בפורמט של מספר דבור). 

עדות לקיומו של הנתיב הא-סמנטי היא הימצאותם של אנשים עם פגיעות ראש שיש להם הבנה תקינה של המשמעות הכמותית של המספר (כלומר סמנטיקה תקינה) ועדיין יש להם קשיים בקריאה ובכתיבה של מספרים.  הנתיב הסמנטי לבדו לא יכול להסביר תופעות כאלה. 

בנתיב הא-סמנטי הילד מפעיל סט של כללים כדי להמיר מספר לפורמט אחר.  אך מאין מגיעים הכללים הללו? איך הם נרכשים?  ורגוטס ופיאס טוענים שילדים לומדים לקרוא ולכתוב מספרים גדולים באמצעות תרגול רב עם משוב מיידי.  אין צורך ללמד את כללי ההמרה באופן מפורש.  הילד מחלץ אותם מתוך ההתנסות.

כך, ורגוטס ופיאס טוענים שקיימים שני נתיבים לקריאה וכתיבה של מספרים - אחד סמנטי ומבוסס על ציר המספרים המנטלי והשני אסמנטי.  ניתן לקרוא ולכתוב מספרים קטנים ושכיחים הן בנתיב הסמנטי והן בנתיב האסמנטי.  מספרים גדולים ניתן לקרוא ולכתוב רק בנתיב האסמנטי. 

קריאה וכתיבה של מספרים רב ספרתיים דורשת הפעלה של כללים.  כללים אלה דומים בעיני לכללי דקדוק ותחביר.  אך ייתכן שגם חשיבה לא לשונית, למשל עיבוד חזותי, נשענת על כללים.   כך יכול ילד להיות בעל שפה תקינה אך קושי בקריאה וכתיבה של מספרים, ולהיפך. 

Amalric, M., & Dehaene, S. (2018). Cortical circuits for mathematical knowledge: evidence for a major subdivision within the brain's semantic networks. Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 373(1740), 20160515.‏

Domahs, F. R. A. N. K., & Delazer, M. (2005). Some assumptions and facts about arithmetic facts. Psychology Science, 47(1), 96-111.‏

M.D. Hauser, N. Chomsky and W.T. Fitch, “The faculty of language: What is it, who has it, and how did it evolve?”, Science, 298, pp. 1569–1579, 2002

C. Semenza, M. Delazer, L. Bartha, F. Domahs, L. Bertella,A. Grana, I. Mori, R. Pignatti and F.M. Conti, “Mathematics in right hemisphere aphasia: a case series study”, Brain Language, 91, pp. 164–165, 2004.

R.A. Varley, N.J.C. Klessinger, C.A.J. Romanowski and M. Siegal, “Agrammatic but numerate”, Proc. Natl Acad. Sci. USA, 102, pp. 3519–3524, 2005

האם אנו מעבדים גירויים מתמטים וגירויים שפתיים באותם איזורים במוח?

Prof. Stanislas Dehaene - A Close Look at the Mathematician's Brain

https://www.youtube.com/watch?v=EMAsQeLfr3o&t=445s

מה הקשר בין שפה טבעית למתמטיקה?  האם היכולת המתמטית שלנו התפתחה מתוך השפה? או מתוך יכולות קוגניטיביות לא לשוניות?  בהרצאה מרתקת זו מתייחס פרופ' סטניסלאס דהאן לשאלות מעניינות אלה.   

לדעת נועם חומסקי (מאבות המהפכה הקוגניטיבית בפסיכולוגיה, שטען לקיומה של יכולת מולדת לשפה), "המקור של היכולת המתמטית הוא בהפשטה של פעולות לשוניות".  כלומר, היכולת המתמטית נשענת על שפה. 

איינשטיין לעומתו טען ש"מלים ושפה – מדוברות או כתובות – לא משחקות שום תפקיד בתהליך החשיבה (המתמטית) שלי.  הישויות הפסיכולוגיות המשמשות כאבני הבנין לחשיבה שלי הם סמלים ודימויים, ברורים פחות או יותר, שאני יכול ליצור מחדש ולשלב מחדש כרצוני".

דהאן נוטה להסכים עם איינשטיין. הוא טוען שבמהלך האבולוציה, המוח שלנו צויד בייצוגים לא מילוליים של מרחב, זמן ומספר.  אנו חולקים ייצוגים אלה עם חיות.  כדי לבצע מתמטיקה אנו הופכים את הייצוגים הללו לפורמלים, באמצעות שימוש בסמלים.  אבל הסמלים הללו נשארים קשורים למערכת הייצוג הבסיסית, שאינה מילולית.  אנחנו יכולים אחר כך להשתמש גם בשפה כדי לבטא רעיונות מתמטים. 

דהאן וחבריו בדקו מהם האזורים הפעילים במוחותיהם של פרופסורים למתמטיקה לעומת פרופסורים במקצועות שאינם מתמטים, בעת עיבוד משפטים מתמטים ומשפטים שאינם מתמטים.  הם הכניסו כל אחד מהפרופסורים לסורק וביקשו מהם לקבוע (או לנחש) אם משפטים שהם שומעים הם נכונים או לא.   הפרופסורים שמעו ארבעה סוגים של משפטים:  משפטים מתמטים נכונים (למשל:  "סינוס הוא פונקציה מחזורית"), משפטים מתמטים שגויים, משפטי ג'יבריש שנשמעים כמו משפטים מתמטים (כוללים אוצר מלים מתמטי), ומשפטי ידע כללי ("אתונה היא ביוון").  המשפטים היו מורכבים יותר מכפי שהדגמתי כאן.  מסתבר, שמשפטים מתמטים עוררו אזורים שונים במוח ממשפטים שאינם מתמטים.  אזורים אלה עוררו בעוצמה גבוהה יותר אצל המתמטיקאים מאשר אצל הלא-מתמטיקאים.  אצל המתמטיקאים אזורים אלה במוח היו גדולים יותר.  אותם אזורים במוח מעוררים באמצעות כל גירוי מתמטי, החל מהפשוט ביותר וכלה במורכב ביותר. 

כאשר ילדים לומדים לקרוא, האזור במוח שמזהה פנים FACES ואובייקטים עובר ראורגניזציה והסבה לקריאה.  התגובה שלו לפנים ולאובייקטים הולכת ויורדת, והתגובה שלו לאותיות ולמלים הולכת ועולה.  היכולת לזהות פנים עוברת מאזור זה, הנמצא בהמיספרה שמאל והנקרא WORD FORM AREA  ,VISUAL  לאזור אחר בהמיספרה ימין.   מסתבר שאצל מתמטיקאים, אזור זיהוי הפנים בהמיספרה ימין הוא קטן יותר.  ייתכן שהמתמטיקאים משתמשים באזור זה כדי לבצע מתמטיקה.

כך, האזורים הפעילים במוח כאשר אנו מבצעים מתמטיקה שונים מהאזורים הפעילים במוח כאשר אנו מעבדים שפה.  אזורי המתמטיקה במוח אינם שפתיים, ומצד שני התפתחותם אינה תלויה בגירויים חזותיים.  דהאן וחבריו בדקו את הפעילות המוחית אצל שלושה מתמטיקאים עיוורים.  הם גילו שמתמטיקאים אלה משתמשים באותם אזורים במוח שבהם משתמשים אנשים רואים.  יתרה מזו:  גם חלק מהקורטקסט האוקציפיטלי (אזור קליפת המוח הקשור לראיה) אצל מתמטיקאים עיוורים משמש לעיבוד מתמטי. 

עדויות נוספות לכך שמושגים מתמטים בסיסיים אינם קשורים בשפה ניתן למצוא במחקר בקופים, אצלם הצליחו חוקרים למצוא נוירונים ספציפים המגיבים לכמויות ספציפיות ולא לאחרות.  חיות מסוגלות לעבד ולהבחין בין כמויות קטנות (עד ארבעה אובייקטים), וכך גם תינוקות בני יומם. 

לסיכום, דהאן טוען שהמתמטיקה בנויה על יסודות מוחיים קדומים, לא לשוניים:  ידע בסיסי על כמות, מרחב וזמן.  זה ידע שהאדם חולק עם יצורים רבים נוספים.  המיוחד באדם הוא שרק האדם יכול לחשוב על מספרים מדויקים (מעל 4) – למשל על 11, ולהבחין בינו לבין 12.  רק האדם יכול לשלב בין המושגים המתמטים וליצור מהם שפת חשיבה.