ניתן לשפר הישגים בחשבון באמצעות התערבות במערכת המספרים המקורבת

לאדם, כמו לבעלי חיים, יש יכולת מולדת לתפוס במדויק כמויות קטנות מאד.  תינוקות בני יומם וגם חיות יכולים להבחין בין   1,2,3 ולעתים גם 4 אובייקטים.  תינוקות בני יומם מסוגלים להבחין גם בין כמויות גדולות מ – 4 אובייקטים, אך הבחנה זו היא מקורבת ולא מדויקת.  תינוק יכול להבחין בין כמויות של אובייקטים ביחס של 1:2, למשל.  כאשר מציגים בפניו שתי צלחות שבאחת מהן יש חמש פיסות של במבה ובשניה יש עשר, תינוק יכול להבחין בצלחת שיש בה יותר במבה ולבחור בה (בהנחה שהוא רעב).  הוא לא יודע בדיוק כמה פיסות במבה יש בכל צלחת, אך יודע איפה יש יותר.

היכולת הזו להבחין ביחסים בין כמויות נקראת מערכת המספרים המקורבת Approximate   Number System או ANS.  המערכת מולדת וחיונית להישרדות של חיות בטבע.  חשוב שחיה תדע להעריך איפה יש יותר מזון ולהתקרב לשם, או איפה יש יותר טורפים ולהתרחק משם. 

במהלך ההתפתחות מערכת המספרים המקורבת מתחדדת ומתעדנת (אצל בני אדם, לפחות).  תינוק בן 9 חדשים מבחין בין כמויות ביחס של 2:3.  ילד בן 6 מבחין בין כמויות ביחס של 5:6.  מבוגר יכול להבחין בין כמויות ביחס של 9:10. 

ANS חדה עוזרת לנו לבצע משימות שיש בהן אומדן: לשפוט אם תוצאה של תרגיל היא הגיונית או לא, לאמוד גובה ומרחק או אפילו לבחור באיזה תור עדיף לחכות בסופר באמצעות הערכה של מספר האנשים העומדים ליד כל קופה וכמות המוצרים שיש בעגלותיהם.   

מספר מחקרים מצאו שחדות ה – ANS, כלומר מידת הדיוק בה ילד יכול להבחין בין כמויות, מנבאת הישגים בחשבון. למשל,   HALBERDAוחבריו מצאו שהבדלים בין אישיים בחדות ה – ANS אצל ילדים בני 14 היו במתאם עם ההישגים של אותם ילדים במבחנים במתמטיקה החל מגיל הגן!  הקשר בין חדות ה – ANS לבין הישגים במתמטיקה קיים גם אצל מבוגרים. 

משמעות הדבר היא שאם נוכל לאבחן שיש לילד מסוים ANS לא חדה בהתאם לגילו, ונעזור לו לחדד אותה, נוכל לסייע לו לשפר את הישגיו בחשבון.

איך בודקים את חדות ה – ANS?

באמצעות משימות פשוטות יחסית, הדורשות הבחנה בין כמויות.  הנה דוגמה למשימה כזו (תמונה 1).  במשימה זו הילד צריך להחליט (מהר ככל האפשר ובלי למנות) האם בריבועים כאלה יש יותר נקודות צהובות או כחולות. 

תמונה 1

כך, ניתן לתת לילד משימות של ניר ועפרון (או משימות ממוחשבות) ולראות עד כמה מערכת המספרים המקורבת שלו חדה בהתאם לגיל.

אם לא, ניתן לאמן את ה – ANS ולחדד אותה!  אימון כזה יכול להוביל לשיפור ההישגים בחשבון!   

הנה שני מחקרי התערבות שהוכיחו זאת:

PARK AND BRANNON  אימנו מבוגרים בביצוע חישובים מקורבים.  המתאמנים ראו שני "עננים" או מקבצים של נקודות.  בכל מקבץ היו בין 9 ל – 36 נקודות. שני המקבצים הללו נחשפו לזמן קצר שלא איפשר לספור את הנקודות בהם.  לאחר מכן המתאמנים בחרו מבין שני מקבצי נקודות חדשים את המקבץ שהכיל את כמות הנקודות בשני המקבצים הראשונים גם יחד.   

המשימה הממוחשבת הזו ידעה להתאים את עצמה ליכולת של המתאמן.  למשל, אם כמות הנקודות בשני המקבצים הראשונים היתה 23,  אפשר היה להציע למתאמן לבחור בין "ענן"/מקבץ עם 40 נקודות (תשובה שקל לראות שהיא שגויה) לבין "ענן" עם 23 נקודות.  לחילופין, אפשר היה להציע למתאמן לבחור בין "ענן" עם 28 נקודות לבין "ענן" עם 23 נקודות.  המשימה השניה היא כמובן קשה יותר, והצלחה בה דורשת ANS חדה יותר.  כך ניתן לחדד את ה – ANS באמצעות העלאת דרגת הקושי של המשימה. 

לאחר 6-10 ימי אימון כאלה, המבוגרים שיפרו את יכולתם לבצע תרגילי חיבור דו ותלת ספרתיים לעומת מבוגרים שלא עברו את האימון.   

זה עובד גם עם ילדים.  HYDE וחבריו נתנו לילדים בכיתה א' לבצע משימת חיבור נקודות במקורב כפי שתוארה למעלה, ומשימות קירוב נוספות שלא אתאר כאן.  נזכור שבמשימת חיבור הנקודות אין זמן לספור את מספר הנקודות בכל מקבץ ולכן אין ברירה אלא להעריך את כמות הנקודות שיש בשני המקבצים ביחד.  לאחר האימון הילדים פתרו תרגילי חיבור חד ודו ספרתיים. 

גם כאן נמצא, שביצוע חישוב מקורב (חיבור בנקודות) שיפר את היכולת של הילדים לפתור תרגילי חיבור בהשוואה לקבוצת ביקורת.

כך, באמצעות התערבות פשוטה, ניתן לשפר תפקוד בחשבון כבר מגיל צעיר. התערבות כזו תעזור ככל הנראה בכל גיל בה ניתן אותה. 

אני חושבת שאנו רואים כאן רמז לכיוון ההתפתחות של הדיאגנוסטיקה במאה ה – 21:  אבחון המתבצע בחלקו באמצעות משימות ממוחשבות, כאשר ניתן להציע מיד עם איתור הבעיה תכנית התערבות ממוחשבת שמסייעת לפתור אותה.

Halberda, J., Mazzocco, M. M., and Feigenson, L. (2008). Individual differences in non-verbal number acuity correlate with maths achievement. Nature 455, 665–668.

Hyde D.C., Khanum S., & Spelke E.S. (2014). Brief non-symbolic approximate number practice enhances subsequent exact symbolic arithmetic in children. Cognition 131(1): 92−107.  https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4061922/

Park, J., & Brannon, E.M. (2013). Training the approximate number system improves math proficiency. Psychological Science 24(10): 1013–1019.  https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3797151/

אילו מיומנויות חשבוניות מושפעות מתפיסת כמות?

Braham, E. J., & Libertus, M. E. (2018). When approximate number acuity predicts math performance: The moderating role of math anxiety. PloS one, 13(5), e0195696.‏   https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0195696

בני אדם וגם חיות נולדים עם תפיסת כמות, כלומר עם הבנה שלסט של דברים יש כמות, ושמניפולציה על הסט  (הוספה או החסרת פריטים) משפיעה על הכמותיות שלו.  למשל, קיימת כמות שתתאר את מספר הפסיכולוגים בתחנה שבה אתם עובדים.  אם יקלטו בתחילת שנת הלימודים הבאה פסיכולוגים חדשים, תתבצע "מניפולציה על הסט" שתשנה את הכמותיות שלו (יהיו כעת 22 פסיכולוגים בתחנה במקום 20, למשל).

יכולת זו לתפיסת כמות נקראת NUMEROSITY או NUMBER SENSE .  כאשר מדובר בכמויות קטנות (אחד עד ארבעה אובייקטים) אנחנו יכולים לתפוס את הכמות המדויקת שלהם במבט אחד, מבלי לספור.  כשמדובר בכמויות גדולות יותר, אנו יכולים להעריך את גודלן מבלי למנות אותן, ובמיוחד אני יכולים להבחין בהבדלים בין כמויות (מבלי למנות).  אנו יכולים לזהות, למשל, שמספר העטים בקבוצה המכילה 12 עטים רב יותר ממספר העטים בקבוצה המכילה 9 עטים, גם אם אנו לא יודעים לומר בדיוק כמה עטים יש בכל אחת מהקבוצות.  אנו עורכים השוואות כאלה בין כמויות של מעל ארבעה אובייקטים באמצעות מערכת ההערכה בקירוב  APPROXIMATE NUMBER SYSTEM (ANS). 

 יש הבדלים בין אנשים במידת הדיוק שבה הם מעריכים כמויות והבדלים בין כמויות, כלומר במידת הדיוק/החדות של ה – ANS.  למשל, מבוגרים עם ייצוגים מדויקים יותר של כמויות יכולים לזהות בקלות הבדלים בין כמויות ביחס של 9:10, בעוד שאחרים מתקשים להבחין בין כמויות ביחס של 4:3.  קושי משמעותי בתפיסת כמות הוא אחד המאפיינים של דיסקלקוליה.  ועדיין, קיים ויכוח בין חוקרים לאילו מיומנויות מתמטיות קשורים הבדלים בינאישיים בחדות ה – ANS .  

שאלה זו נבדקה במחקר זה.  במחקר השתתפו 86 סטודנטים.  הם נבחנו במבחנים שבודקים את חדות ה – ANS וכן במבחנים שבדקו חרדה חשבונית, הישגים בחשבון וזיכרון עבודה.  החוקרים רצו לדעת עד כמה חדות ה – ANS ועד כמה חרדה חשבונית או זיכרון עבודה משפיעים על מיומנויות שונות במתמטיקה.  החוקרים שאלו את הסטודנטים גם על מספר הקורסים שהם לקחו במתמטיקה, כדי לדעת עד כמה ידע והתנסות משפיעים על מיומנויות שונות במתמטיקה.

כדי לבדוק את חדות ה – ANS, הסטודנטים ראו מקבצים של נקודות כחולות וצהובות על מסך מחשב והתבקשו לבחור במהירות האפשרית במקבץ בו יש יותר נקודות.  כל מקבץ הכיל בין 12 ל – 36 נקודות בגדלים שונים, והיחסים בין כמות הנקודות שנבדקו נעו בין יחס של 3:4 (הקל ביותר) ועד יחס של 9:10 (הקשה ביותר). 

מיומנויות מתמטיות נבדקו באמצעות מבחנים ממבחן ה – WJ3ACH  (מבחני ההישגים של מבחן הוודקוק ג'ונסון, שלא יהיו זמינים בארץ במהדורה ישראלית).  החוקרים בחרו שלושה מבחנים:  מבחן חישובים, מבחן שטף חשבוני ומבחן בעיות יישומיות.  מבחן חישובים בודק את היכולת לבצע חישובים מתמטים בכתב (חשבון, גאומטריה, טריגונומטריה, לוגריתמים וחשבון דיפרנציאלי).  מבחן שטף חשבוני בודק את היכולת לשלוף במהירות ובשטף את הפתרון לתרגילים פשוטים בחיבור, חיסור וכפל.  מבחן בעיות יישומיות בודק את היכולת לפתור בעיות מילוליות המוצגות בעל פה (לבחור את המידע הרלוונטי, לזהות את הפרוצדורה שצריך לבצע, ולבצע את החישוב המתאים).  במבחן זה חלק מהמידע מוצג באופן חזותי (המידע כתוב או מופיע תרשים) והנבחן יכול להשתמש בדף טיוטא. 

זיכרון עבודה נבדק על ידי זכירת ספרות לאחור.  

חרדה חשבונית נבדקה על ידי שאלון.   

תוצאות:

מה שניבא הכי טוב את ההצלחה במבחן שטף חשבוני היה חדות ה – ANS והחרדה החשבונית.  כלומר, תפיסת כמות מדויקת וחדה עומדת בבסיס היכולת לשלוף במהירות עובדות חשבון בסיסיות.  חרדה חשבונית פוגמת ביכולת לשלוף עובדות חשבון במהירות ובשטף.  מכיוון שחרדה חשבונית היתה פחות קשורה לביצוע במבחני החשבון האחרים, החוקרים סבורים שחרדה חשבונית משפיעה יותר על מבחני חשבון שדורשים ביצוע מהיר (כמו שטף חשבוני) מאשר על מבחני חשבון שאינם מוגבלים בזמן (כמו מבחן החישובים ומבחן הבעיות היישומיות).    זיכרון עבודה ומספר הקורסים במתמטיקה שהסטודנט לקח היו קשורים פחות לציונים במבחן שטף חשבוני.

אצל אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה, חדות ה- ANS ניבאה את ההצלחה במבחן הבעיות היישומיות (יותר מכל המבחנים האחרים).   כדי להחליט כיצד לפתור בעיה מילולית וכדי לדעת להתמקד במידע הרלוונטי לפתרון ולהתעלם מהמידע הלא רלוונטי, צריך להבין באופן עמוק את את היחסים בין הכמויות המוצגות בבעיה.  לאנשים עם תפיסת כמות מדויקת וחדה יש  סיכוי גדול יותר לבחור באסטרטגיות יעילות כדי לפתור את הבעיות וכדי לגלות שגיאות במהלך הפתרון.  אנשים עם ייצוגים מדויקים יותר של כמויות מזהים בקלות רבה יותר אם התוצאה הגיונית או לא (למשל, תפיסת כמות עוזרת להבין שכאשר מבצעים פעולת חיבור במספרים חיוביים התוצאה תמיד גדולה יותר משני המחוברים. ואז אם מקבלים תוצאה קטנה יותר זה מיד בולט לעין כלא הגיוני).  אנשים עם רמות גבוהות של חרדה חשבונית עלולים להתקשות להתמקד במשימה המתמטית מכיוון שהחרדה תוספת את המשאבים הקוגניטיביים שלהם (קשב, זיכרון עבודה).  כך, סטודנטים עם חרדה חשבונית גבוהה עלולים לטעות בשל עומס על זיכרון העבודה ועל משאבי הקשב שנגרם מהחרדה.  כאשר לסטודנט חרד יש  ANS חדה (תפיסת כמות מדויקת), הוא יצליח טוב יותר לזהות ולתקן טעויות במבחן הבעיות היישומיות, שאינו מוגבל בזמן.

מה שניבא את ההצלחה במבחן החישובים המתמטים הוא מספר הקורסים במתמטיקה שהסטודנט למד (יותר מאשר חדות ה – ANS, חרדה חשבונית וזיכרון עבודה).   מבחן החישובים דרש הפעלה של פרוצדורות מוכרות (כמו פרוצדורה לחילוק במאונך), לעתים קרובות ללא עיבוד עמוק של המשמעות הכמותית של המספרים או של הפתרון.  כך, הביצוע במבחן החישובים נשען יותר על כמות ואיכות ההוראה שהסטודנט קיבל וכמות התירגול שהוא ביצע בפרוצדורות אלה, מאשר על תפיסת כמות. 

לא נמצא קשר בין חדות ה – ANS לבין חרדה חשבונית.   כלומר, חרדה חשבונית לא נגרמת מקושי בסיסי בתפיסת כמות.   יש חוקרים הסבורים שחרדה חשבונית עשויה להתפתח כתוצר של אינטראקציה של הילד עם הורים או מורים שיש להם חרדה חשבונית.  מאידך תמיכה של הורים ומורים יכולה להפחית חרדה חשבונית.