חציית קו פיסי וחציית ציר מספרים מנטלי – מטלות שמבחינות בין סטודנטים עם דיסקלקוליה לסטודנטים שהתפתחותם תקינה

 

  

Ashkenazi, S., & Henik, A. (2010). A disassociation between physical and mental number bisection in developmental dyscalculia. Neuropsychologia, 48(10), 2861-2868.

 

מהר ובלי לחשב: מהו המספר שנמצא באמצע בין המספרים 34 ו – 58? 

 

 

 תרשים 1: המיספרות המוח

אם השבתם ארבעים וארבע או ארבעים וחמש, השבתם כמו אנשים שתפקודם החשבוני תקין, למרות שהתשובה הנכונה היא ארבעים ושש. המטלה שזה עתה ביצעתם נקראת "חציית ציר מספרים מנטלי".  במטלה זו אנשים מתבקשים למצוא במהירות האפשרית את המספר שנמצא באמצע הטווח שבין שני מספרים המוצגים בפניהם.  אנשים בעלי תפקוד תקין בחשבון מציגים במטלה זו הטיה קלה לצד שמאל שמכונה פסאודונגלקט pseudoneglect.  הטיה זו מתבטאת בכך שהמספר הנתפס כאמצעי נוטה להיות לשמאלו של המספר האמצעי האמיתי על ציר המספרים, כלומר המספר האמצעי הנתפס קטן מעט מהמספר האמצעי האמיתי. 

neglect היא תופעה שבה לאחר פגיעה באחת ההמיספרות במוח (ראו תרשים 1), נוצר חסר בקשב ובעירנות לצד אחד של שדה הראיה.  אדם שמתמודד עם נגלקט אינו מסוגל לעבד ולתפוס גירויים בצד אחד של הגוף או של הסביבה. הנגלקט מופיע בדרך כלל בצד ההפוך לצד שבו נגרמה הפגיעה המוחית (למשל, אם היא נגרמה בצד ימין, האדם מתקשה לעבד גירויים בצד שמאל של הגוף). 

תופעת ההטיה הקלה שמאלה במטלת חציית ציר מספרים מנטלי מתרחשת אצל אנשים שאין להם פגיעה מוחית ושמתפקדים בחשבון באופן תקין.  לכן היא אינה ביטוי של נגלקט אלא של פסאודונגלקט.  מקור התופעה הוא ככל הנראה באסימטריה קלה בקשב בין שתי ההמיספרות שקיימת אצל אנשים בריאים.  ההמיספרה הימנית דומיננטית יותר מהשמאלית בתפקודי קשב, ומכיוון שההמיספרה הימנית קשורה לשדה הראיה השמאלי, קיימת הטיה קלה של הקשב לשדה הראיה השמאלי, שגורמת לכך שאמצע ציר המספרים המנטלי ייתפס מעט שמאלה ממיקומו הנכון. הטיה קלה זו שמאלה אצל אנשים שתפקודם החשבוני תקין קיימת לא רק בחציה של ציר מספרים מנטלי אלא גם במטלה של חציית קו פיסי (לא ציר מספרים אלא קו פשוט) באמצע. 

מה קורה אצל סטודנטים עם דיסקלקוליה?  האם גם הם מגלים הטיה קלה שמאלה במטלת חציית ציר מספרים מנטלי ובמטלה של חציית קו פיסי? שאלה זו נבדקה במחקר זה, בו השתתפו 24 סטודנטים ישראלים, 12 מהם עם דיסקלקוליה.  למשתתפים עם הדיסקלקוליה היו קריאה ויכולות קשב וריכוז תקינות ומשכל תקין (כפי שנבדק באמצעות מטריצות רייבן).

מסתבר, שהסטודנטים עם הדיסקלקוליה ביצעו בשתי המטלות באופן שונה מהסטודנטים ללא דיסקלקוליה.  במטלת חציית ציר מספרים מנטלי הסטודנטים עם דיסקלקוליה הציגו יותר הטיה שמאלה מאשר הסטודנטים שתפקודם בחשבון תקין.  לעומת זאת במטלת חציה של קו פיסי, הסטודנטים עם דיסקלקוליה הציגו פחות הטיה שמאלה מאשר הסטודנטים שתפקודם בחשבון תקין. 

מהן הסיבות לתפקוד השונה של הסטודנטים עם דיסקלקוליה?

החוקרים שביצעו מחקר זה, ד"ר שרית אשכנזי ופרופ' אבישי הניק, טוענים שהסיבה להבדלים בביצוע במטלת חציית ציר מספרים מנטלי היא שהיצוג של מספרים על ציר המספרים המנטלי אצל אנשים עם דיסקלקוליה נוטה להיות יותר לוגריתמי מאשר הייצוג של מספרים אצל אנשים ללא דיסקלקוליה.  

כפי שניתן לראות בתרשים 2, יצוג לוגריתמי מתבטא בכך שהמרחק בין מספרים קטנים עוקבים (למשל, 2 ו – 3) גדול מהמרחק בין שני מספרים גדולים עוקבים (למשל, 12 ו – 13).  זאת לעומת ייצוג לינארי, שבו המרחק בין שני מספרים עוקבים קבוע בלי קשר לגודלם.

תרשים 2: סולם לינארי לעומת סולם לוגריתמי

מבט בתרשים 2 מראה שכאשר יש למצוא במהירות וללא חישוב את האמצע בין 4 ל – 16, נקודת האמצע בסולם לינארי היא 10 ואילו בסולם לוגריתמי היא 8.  כך, ככל שהיצוג המנטלי של ציר המספרים הוא יותר לוגריתמי, תיתפס נקודת האמצע כנמצאת יותר שמאלה מנקודת האמצע האמיתית, או כקטנה יותר בערכה המספרי מנקודת האמצע האמיתית.

היצוג המנטלי של מספרים אצל ילדים נוטה להיות לוגריתמי.  עם ההתפתחות והלמידה, היצוג הופך להיות ליותר ויותר לינארי.  מחקר זה מוסיף עוד עדות לכך שהיצוג המנטלי של מספרים אצל סטודנטים עם דיסקלקוליה הוא עדיין יותר לוגריתמי מאשר אצל סטודנטים ללא דיסקלקוליה.  ככל שהיצוג לינארי יותר, הביצוע בהיבטים שונים של חשבון הוא טוב יותר. 

כך, מטלת חציית ציר מספרים מנטלי יכולה להבחין בין סטודנטים עם ובלי דיסקלקוליה.  גם במטלת חציית קו פיסי מצאו אשכנזי והניק הבדלים בין סטודנטים עם ובלי דיסקלקוליה.  בעוד שסטודנטים ללא דיסקלקוליה הראו את תופעת הפסאודונגלקט וחצו קו פיסי במיקום שהוא מעט שמאלה מהמיקום הנכון, סטודנטים עם דיסקלקוליה לא הראו הטיה עקבית שמאלה בחציית קו פיסי.  מה ההסבר להבדלים אלה?

ראינו שההטיה שמאלה בחציה של קו פיסי אצל אנשים שתפקודם תקין נובעת מאסימטריה קשבית בין ההמיספרות.  אשכנזי והניק מציעים שלדיסקלקולים יש ככל הנראה פגיעה קטנה בקשב המרחבי, ופגיעה זו גורמת לכך שתהיה להם פחות הטיה שמאלה בחציה של קו פיסי.  נזכיר, שלמשתתפים במחקר זה לא היו קשיים בקשב.  כך שההטיה המופחתת שמאלה אינה קשורה לקומורבידיות של דיסקלקוליה עם קשיים בקשב וריכוז.  אשכנזי והניק מציעים שאצל הסטודנטים עם דיסקלקוליה יש פחות אסימטריה המיספרית קשבית בהשוואה לסטודנטים ללא דיסקלקוליה.  פחות אסימטריה קשבית גורמת להפחתה בהטיה שמאלה בחצית קו פיסי. 

יתכן שירידה באסימטריה קשבית אצל דיסקלקולים נגרמת מלקות או קושי בתפקוד של אזור במוח שנקרא IPS  - Intraparietal sulcus – במיוחד בצד הימני של המוח (ראה תרשים 3).

 

תרשים 3: IPS

יש עדויות לכך שה – IPS פגוע או מתפקד לא טוב אצל דיסקלקולים. בנוסף יש עדויות לכך שה – IPS מעורב מאד במטלה של חציית קו פיסי.  אצל נשים עם תסמונת טרנר שאחד התסמינים שלה הם דיסקלקוליה נמצאה אבנורמליות ב – IPS הימני.  במטלת השוואה בין כמויות (בין מקבצים של נקודות), נמצאה ירידה בפעילות המוחית ב – IPS הימני אצל אנשים עם דיסקלקוליה.  גריה מוחית ל – IPS הימני שניתנת לאנשים ללא לקות בחשבון גורמת לדפוסי ביצוע דומים לאלה של אנשים עם דיסקלקוליה. 

לסיכום, מטלות של חציית ציר מספרים מנטלי וחציית קו פיסי יכולות ככל הנראה להבחין בין ילדים ומבוגרים עם ובלי דיסקלקוליה.  אצל אנשים ללא דיסקלקוליה נצפה להטיה קלה לצד שמאל בשתי המטלות הללו.  אצל אנשים עם דיסקלקוליה נצפה להעדר הטיה לצד שמאל במטלה של חצית קו פיסי ולהטיה חזקה יותר לצד שמאל במטלת חציה של ציר מספרים מנטלי.

סוגי קשיים ושגיאות בחשבון ומקורותיהם

כפסיכולוגים חינוכיים יש לנו לא מעט ידע על מקורותיהם של קשיים שונים בקריאה ושל סוגים שונים של שגיאות כתיב.  מה לגבי חשבון?  חשוב מאד לדעתי להרחיב את הידע שלנו בתחום זה.  הצלחה של ילד בחשבון בבי"ס פותחת בפניו אפשרויות לימודים ותעסוקה עתידיים שיכולים להוביל אותו לרווחה כלכלית ועל הדרך גם להועיל למדינה.

החוקרים Domahs & Delazer (2005) מבחינים בין שלושה תחומי ידע בחשבון:  ידע המשגתי, ידע פרוצדורלי וידע של עובדות החשבון.

ידע המשגתי הוא ידע על חוקים, כללים ומושגים חשבוניים.  ילד שמתקשה בסוג זה של ידע לא יכיר, למשל, את חוק החילוף; יתקשה לבצע משימות בהנדסה מכיוון שאינו שולט במושג "קווים מקבילים" או במושג "משולש שוה שוקיים"; יפרש את המושג "פי שתיים" כ – "חצי" ויפעל בהתאם, וכן הלאה.  חוסר בידע מושגי עשוי להיות סמוי מהעין.  למשל, ילד עולה חדש עשוי לשלוט במושגים בשפת האם אך לא להכיר אותם בעברית.  ילד יליד הארץ עשוי לא להיות מודע לכך שהוא מבין מושג חשבוני באופן לא מדויק.  חשוב שמורים יקדישו זמן לרענון מחודש של משמעותם של מושגים שונים ולא יצאו מנקודת הנחה שכל התלמידים בכיתה שולטים בהם.  כשאנו בודקים ילד, חשוב לבדוק אם שגיאה שהוא עשה נובעת מחוסר שליטה במושג הרלוונטי.

ידע פרוצדורלי הוא שליטה של הילד בפרוצדורות חשבוניות כמו חילוק או כפל במאונך, או סדר פעולות חשבון.  פרוצדורות אלה מורכבות מסדרה של פעולות שיש לבצע ברצף מסוים.  אימון חוזר ונשנה עוזר להפוך פרוצדורה כזו לאוטומטית.  יש ילדים שזקוקים לכמות רבה יותר של אימון כדי להפעיל פרוצדורות חשבוניות באופן תקין.  לעתים ילד יוכל להסתייע בתומכי זיכרון (למשל, כדי לזכור את סדר פעולות החשבון).

ידע על עובדות החשבון  הוא היכולת לשלוף את עובדות החשבון באופן אוטומטי ממאגר הידע. ילד בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי צריך להיות מסוגל לשלוף באופן אוטומטי פתרונות לתרגילי כפל חד ספרתיים בהם שני האופרנדים קטנים/שווים ל – 6 (התרגילים עד 6X6).   ילדים ומבוגרים רבים שולפים גם כפולות של 7,8 ו – 9 באופן אוטומטי.  אך יש ילדים ומבוגרים שמתפקדים בחשבון באופן תקין לחלוטין ועדיין אינם שולפים כפולות של 7,8 ו - 9 אלא פותרים אותן באמצעות חישוב עזר.  למשל, כדי לפתור 7X8 מבוגר בעל יכולת תקינה בחשבון עשוי לשלוף 49=7X7 ולהוסיף 7. 

הנה הצעה למיפוי שגיאות בשליפה של תרגילי כפל ומשמעויותיהן.  אני מתייחסת למצב בו הילד ששגה לומד בכיתות הגבוהות של בי"ס היסודי ומעלה (כלומר, כבר למד את לוח הכפל ותירגל אותו היטב).

28=6X4.  ילד זה שלף כפולה אחרת של האופרנד 4.  הכפולה שנשלפה קרובה מבחינה כמותית לפתרון הנכון.  המשמעות היא שהילד מכיר את "משפחת" כפולות הארבע.  כאשר הוא נתקל בתרגיל של כפל בארבע, התרגיל מעורר את כפולות הארבע האחרות במאגר הידע של הילד.  זהו מצב תקין וטוב.  מרבית השגיאות שאנשים עושים בכפל הן כפולות קרובות של אחד האופרנדים (ראו מחקר של אביטל רותם ואבישי הניק המצוטט למטה).   סוג שגיאה זה הוא הקל ביותר, ויתכן שאימון נוסף בלוח הכפל יפתור בעיה זו. 

48=6X4.  גם ילד זה שלף כפולה אחרת של האופרנדים.  אבל הפתרון שהילד שלף רחוק מאד מבחינה כמותית מהפתרון האמיתי.  שגיאה כזו עלולה לרמוז על כך שחוש הכמות של הילד אינו חד מספיק.  הילד לא מבחין שהפתרון "לא הגיוני" או "רחוק" ממה שהוא צריך להיות.  ילד זה יפיק תועלת מאימון הכולל התייחסות לגודל הכמותי של הפתרון.  למשל, אפשר לתת לו למקם את התרגיל 6X4 (כשהוא לא פתור) ותרגילי כפל נוספים על ציר מספרים של 0-100.

23=6X4.  ילד זה נתן פתרון שאינו נמצא כלל בלוח הכפל.  יתכן שהוא הגיע לפתרון בעקבות חישוב מוטעה.  בכל אופן, לילד ככל הנראה אין "מאגר" של פתרונות אפשריים לתרגילי כפל.  לכן הוא לא מבחין בכך שהפתרון אליו הגיע לא יכול להיות נכון.  אני חושבת שזה דומה למצב בו מילה מסוימת לא נמצאת בלקסיקון האורתוגרפי, ולכן הילד לא מבחין שהיא כתובה בשגיאת כתיב.  אם המלה "שולחן" לא קיימת בלקסיקון האורתוגרפי, הילד לא מבחין ש"שולכן" "לא נראה טוב" ולא יכול להיות כתוב נכון.  ילד זה זקוק לאימון בזיהוי ובהבחנה בין פתרונות שנמצאים בלוח הכפל לפתרונות שאינם נמצאים בלוח הכפל. 

1=6X1; 6=0X6; 28=6X5  שלוש השגיאות האלה מעידות על כך שהילד אינו שולט בכלל.  כפולות של אפס וכפולות של אחד אינן נשלפות ממאגר הידע אלא נפתרות באמצעות יישום כלל.  כפולות של חמש נשלפות ממאגר הידע אך הן מצייתות לכלל לפיו ספרת האחדות בפתרון היא תמיד 5 או 0.  ילד זה זקוק לחידוד של הכלל ולאימון בישום שלו.

...=4X3  הילד אינו שולף את הפתרון באופן אוטומטי אלא מחשב אותו, למשל באצבעותיו.  נזכיר שמדובר בילד שלומד בכיתות הגבוהות של בית הספר היסודי ואילך.  ילד זה אמור לשלוף תרגילי כפל עם אופרנדים קטנים באופן אוטומטי.  יתכן שלילד יש קושי ביצירת הקשר האסוציאטיבי בזיכרון בין התרגיל לפתרונו (כלומר קושי בלמידה ו/או אחסון ו/או שליפה מהזיכרון לטווח ארוך).  ייתכן שלילד יש קושי בתפיסת כמות שעומד בבסיס הקושי שלו ללמוד תרגילי כפל פשוטים.  לילד זה יש בעיה בסיסית קשה בחשבון.  ייתכן שהוא יכול להיעזר באימון בתפיסת כמות (הבחנה בין כמויות של נקודות), או בקישור בין כמות למספר.  אם אימון כזה ושינון חוזר של התרגילים הפשוטים לא עוזרים, יתכן שאין מנוס מלהנחות את הילד להשתמש במחשבון.

63....=9X7  הילד אינו שולף את הפתרון באופן אוטומטי אלא מחשב אותו באמצעות תרגיל עזר.  למשל, הילד מחשב 70=10X7  ואז מפחית 7.  זהו ביצוע תקין שאינו מעיד על בעיה כלשהיא.

63...=7+7+7+7+7+7+7+7+7=9X7 ילד זה מבצע פרוצדורה לא יעילה, שמעמיסה מאד על זיכרון העבודה שלו ומן הסתם לא תמיד מובילה אותו לפתרון הנכון.  גם הוא מתמודד עם בעיה בסיסית קשה בחשבון, שיתכן שנובעת מקושי בתפיסת כמות.  גם ילד כזה יוכל להיעזר במחשבון אם אימון בתפיסת כמות או אימון בביצוע תרגיל עזר יעיל יותר לא יועיל לו. 

Domahs, F. & Delazer, M. (2005). Some assumptions and facts about arithmetic facts. Psychology Science, 47(1), 96-111.‏

Rotem, A., & Henik, A. (2015). Development of product relatedness and distance effects in typical achievers and in children with mathematics learning disabilities. Journal of learning disabilities, 48(6), 577-592.

האם דיסלקסיה ודיסקלקוליה נובעות מקושי במנגנון קוגניטיבי משותף?

בשנת 2007 החוקרים VON ASTER וחבריו בדקו קבוצה של 378 ילדי גן חובה שנדגמו מתוך האוכלוסיה הכללית בגרמניה.  הילדים נבדקו לראשונה בגיל 6 ולאחר מכן בגיל 8.  החוקרים מצאו ש- 6% מהילדים התמודדו עם דיסקלקוליה.  אך רק 1.8% מ-378 הילדים התמודדו עם דיסקלקוליה בלבד.  4.2% מהילדים התמודדו עם שילוב של דיסקלקוליה ודיסלקסיה. 

רבים מהילדים שמתמודדים עם דיסלקסיה סובלים מקושי בקישור בין סמל לצליל, כלומר מקושי בקישור בין מראה האות (סמל) לצליל שאות זו מיצגת.  האם קושי דומה יכול להסביר גם דיסקלקוליה? ואם כן, האם יש בסיס משותף לשתי הלקויות?

באנלוגיה לקושי בקישור בין סמל לצליל, ניתן לחשוב בתחום הדיסקלקוליה על קושי בקישור בין סמל לכמות.  זה יהיה, למשל, קושי לקשר בין הספרה 5 לכמות של חמישה פריטים: @@@@@.  ייתכן שקושי ביכולת לקשר באופן אוטומטי בין סמלים כתובים (אות או ספרה) לבין יצוגים מנטלים (כמויות או פונמות) עשוי להוביל לקשיים הן בחשבון והן בקריאה. 

החוקרים הישראלים אורלי רובינשטיין ואבישי הניק מצאו שלילדים דיסלקטים יש יכולת תקינה לקשר באופן אוטומטי בין כמויות לספרות אך יכולת לקויה לקשר באופן אוטומטי בין פונמות לאותיות.  לעומתם לילדים דיסקלקולים יש קושי לקשר באופן אוטומטי בין כמויות לספרות אך יכולת תקינה לקשר באופן אוטומטי בין פונמות לאותיות. 

LANDERL  וחבריה בחנו קבוצה של ילדים עם דיסקלקוליה בלבד, דיסלקסיה בלבד ודיסקלקוליה ביחד עם דיסלקסיה.  קושי פונולוגי נמצא בשתי הקבוצות שהיו בהן ילדים עם דיסלקסיה אך לא בקבוצת הילדים עם דיסקלקוליה בלבד. קשיים בעיבוד כמויות נמצאו בקבוצות הדיסקלקוליה אך לא בקבוצת הילדים עם דיסלקסיה בלבד.  קבוצת הילדים עם דיסלקסיה ודיסקלקוליה המתמודדו הן עם קושי בעיבוד פונולוגים והן עם קושי בעיבוד כמויות.    

כך, עדיין לא נמצא מנגנון קוגניטיבי פגוע בשתי הלקויות גם יחד, שגורם לקשיים לקשר באופן אוטומטי בין סמלים כתובים לבין יצוגים מנטלים. 

החוקרים הישראלים אבישי הניק, אורלי רובינשטיין ושרית אשכנזי מציעים שמנגנון קוגניטיבי כזה יכול להיות ממקום ב – ANGULAR GYRUS (AG).  ה – AG מעורב בקישור בין אותיות לצלילים, והוא פעיל פחות אצל ילדים דיסלקטים מאשר אצל ילדים שאינם דיסקטים.  ה – AG בצד שמאל של המוח מעורב בתהליכים כלליים של למידת עובדות, שליפה ואוטומטיזציה.   אזור זה פעיל יותר במהלך שליפה של תרגילים בלוח הכפל, למשל.  הוא פעיל גם בעת יצוג מנטלי של כמויות ובעת מעבר בין כפל לחילוק.  ה – AG פעיל במהלך השוואה בין כמויות.  פעילות זו מרמזת על כך שה - AG מעורב בשליפה של מידע מספרי סמלי (ספרות).  לכן יתכן שפגיעה ב – AG תגרום הן לקשיים בקריאה והן לקשיים בחשבון.

Henik, A., Rubinsten, O., & Ashkenazi, S. (2015). Developmental dyscalculia as a heterogeneous disability. Oxford library of psychology. The Oxford handbook of numerical cognition, 662-677.

Landerl, K., Fussenegger, B., Moll, K., & Willburger, E. (2009). Dyslexia and dyscalculia: two learning disorders with different cognitive profiles. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 309-324

Rubinsten, O., & Henik, A. (2006). Double dissociation of functions in developmental dyslexia and dyscalculia. Journal of Educational Psychology, 98, 854-867. ‏

von Aster, M., & Shalev, R. S. (2007). Number development and developmental dyscalculia. Developmental Medicine and Child Neurology, 49, 868-873.

ילדים שהתפתחותם תקינה שוגים אחרת

Rotem, A., & Henik, A. (2015). Development of product relatedness and distance effects in typical achievers and in children with mathematics learning disabilities. Journal of learning disabilities, 48(6), 577-592.

האם למידה של לוח הכפל מפתחת את חוש המספר? ומהם ההבדלים בשגיאות שעושים ילדים שהתפתחותם תקינה וילדים דיסקלקולים כשהם לומדים את לוח הכפל?

אנחנו יודעים שמודעות פונולוגית עוזרת לרכוש את יסודות הקריאה.  אבל הקשר הוא דו כיווני: רכישת הקריאה משפרת את המודעות הפונולוגית.  האם זה כך גם בחשבון?  חוש מספר (number sense) תקין מאפשר לרכוש חשבון בסיסי באופן תקין.  האם רכישת החשבון משפרת את חוש המספר?

את זה ניסו לבדוק החוקרים הישראלים אבישי הניק ואביטל רותם. 

חוש המספר הוא ההבנה שלסט של פריטים יש כמות, ושמניפולציה על הסט (הוספה או החסרת פריט) משפיעה על הכמותיות שלו.  חוש המספר מאפשר לנו, בין השאר, לקשור בין ספרה לכמות, ולהבחין 

בהבדלים בין כמויות. 

רותם והניק בחנו כיצד מתפתח הידע על עובדות כפל אצל ילדים שהתפתחותם תקינה ואצל ילדים עם לקות למידה שבאה לידי ביטוי בחשבון (שנקרא לה בפוסט זה MLD).  הם בחנו גם כיצד התפתחות השליטה בלוח הכפל קשורה לחוש המספר.  חוש המספר יכול לבוא לידי ביטוי בכפל בשני היבטים:  

א.      רגישות לקשרים בין מספרים, ולגבי לוח הכפל - רגישות לקשר בין מכפלות של אותם אופרנדים. ילד שלמד מכפלות של אופרנד (מספר) מסוים, ויש לו חוש מספר תקין, ישים לב לקשר בין המכפלות (למשל, לקשר בין 6,12,18,24,30 וכו').  בגלל שילדים שמתפקדים בחשבון באופן תקין רגישים לכפולות האופרנדים, מרבית השגיאות שהם יעשו בכפל תהיינה כפולות של אותם אופרנדים.  למשל, יש סיכוי גבוה יותר שילד בעל חוש מספר תקין ישגה כך: 28=6X4  ולא כך:  25=6X4.  זאת מפני ש – 28 הוא אחת הכפולות של 4, אבל 25 אינו כפולה של 4 וגם לא של 6.

 

ב.      רגישות לגודל פתרון התרגיל.  ילד בעל חוש מספר תקין חש מתי פתרון תרגיל הוא סביר והגיוני ומתי הוא לא.  כשילד זה שוגה, השגיאה שלו קרובה מבחינה כמותית לפתרון הנכון.  למשל, יש סיכוי גבוה יותר שילד בעל חוש מספר תקין ישגה כך: 28=6X4 ולא כך: 12=6X4.  זאת מפני ש – 28 קרוב יותר לפתרון הנכון של התרגיל מאשר 12. 

   ילדים מתחילים ללמוד כפל בכיתה ב'.  בעזרת תירגול ובמשך הזמן הם יוצרים במאגר הידע שלהם רשת אסוציאטיבית של תרגילים ופתרונות ואז שולפים את הפתרונות למרבית התרגילים מהזיכרון.  בכיתה ו' ילדים שהתפתחותם תקינה מגיעים לרמת ביצוע של מבוגרים בתרגילי כפל. 

ילדים מתחילים ללמוד את לוח הכפל מתרגילים קלים (תרגילים בהם בהם שני האופרנדים קטנים מ – 5, תרגילי תאומים – בהם שני האופרנדים זהים כמו 3X3, וכפולות של 5).  לאחר מכן הם לומדים תרגילים בינוניים (תרגילים בהם אופרנד אחד קטן מ – 5 והשני גדול מ –   5( ולבסוף הם לומדים לפתור תרגילים קשים (תרגילים בהם שני אופרנדים גדולים מ – 5 ).  ילדים פותרים תרגילי כפל קלים מהר יותר מתרגילי כפל קשים.  פער זה במהירות הפתרון הולך ויורד עם הגיל, אך הוא עדיין קיים אצל מבוגרים.  כלומר, גם מבוגרים פותרים תרגילי כפל קשים (בהם שני האופרנדים גדולים מ – 5) לאט יותר מאשר תרגילי כפל קלים. 

ילדים עם MLD שוגים יותר בתרגילים חד ספרתיים (בכל ארבע פעולות החשבון) מאשר ילדים שהתפתחותם תקינה.  סוגי השגיאות שעושים ילדים עם MLD שונים מסוגי השגיאות שעושים ילדים עם התפתחות תקינה ורומזים על כך שחוש המספר שלהם לקוי, במיוחד בהיבט של רגישות לגודל פתרון התרגיל.  כך, אם ילד  עם MLD נשאל "מהו הפתרון הקרוב ביותר לתרגיל  4+9 :  12  או 19 ?"  הוא טועה יותר מאשר ילד שהתפתחותו תקינה.  כאשר ילדים בכיתה ח' עם MLD מתבקשים לפתור תרגילי כפל, הטעויות שהם עושים רחוקות יותר מהפתרונות הנכונים מאשר הטעויות שעושים ילדים בכיתה ח' שהתפתחותם תקינה.  בניגוד לכך, אין הבדל באחוז השגיאות שעושים ילדים בכיתה ח' עם MLD וילדים שהתפתחותם תקינה כאשר הפתרון השגוי הוא מכפלה של אחד האופרנדים בתרגיל (28=6X4).   

לרוב הילדים עם MLD יש לקויות נוספות, בעיקר בקריאה ובקשב.  ילדים שיש להם MLD ולקויות נוספות שוגים יותר במטלות חשבון שונות מאשר ילדים עם MLD בלבד.  במודל של החוקר DEHAENE, עובדות כפל מיוצגות בזיכרון באמצעות קוד ורבלי (כמו משפט, "ארבע כפול שש זה עשרים וארבע").  לכן קושי בעובדות כפל עלול לנבוע מלקות ורבלית או פונולוגית.  לקות ורבלית או פונולוגית תפגע כמובן גם בקריאה.

במחקר הזה השוו הניק ורותם בין סטודנטים, ילדים שהתפתחותם תקינה שלמדו בכיתות ב',ד' ו – ו' וילדים עם MLD שלמדו בכיתות ו' ו – ח'.  כל הילדים שהתפתחותם תקינה קיבלו ציון באחוזון מעל 20 במבחני הישג ארציים במתמטיקה.  אלה היו ילדים שלא אובחנו כלקויי למידה ולא קיבלו שירותי חינוך מיוחד.  לקבוצת MLD בחרו הניק ורותם ילדים שהקושי שלהם מתמקד בחשבון, ושאין להם לקויות נוספות בקריאה ובקשב.  ההישגים של ילדי ה – MLD במבחן במתמטיקה היו באחוזון 20 ומטה.  היה להם עיכוב של שנתיים במתמטיקה.  כלומר אחוז התשובות הנכונות שלהם במבחן ארצי במתמטיקה שיועד לתלמידים שלומדים בכיתה נמוכה יותר בשנתיים היה 60% ומטה.  כל התלמידים קיבלו ציון באחוזון 25 ומעלה במבחן מטריצות רייבן.  החוקרים וידאו באמצעות בדיקת הקריאה שילדים וסטודנים עם לקויות בקריאה לא נכללים במחקר.  כמו כן לא נכללו ילדים וסטודנטים עם הפרעת קשב וריכוז.  

החוקרים הציגו לילדים ולסטודנטים תרגילי כפל.  משימתם היתה להחליט במהירות האפשרית אם תרגיל הכפל המוצג הוא נכון או שגוי. 

 הניק ורותם מצאו שהרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מתחילה להופיע בכיתה ב' אצל תלמידים עם הישגים תקינים ומתחילה להופיע בכיתה ח' אצל תלמידים עם MLD.  כלומר, החל מכיתה ב', תלמידים שהתפתחותם תקינה טעו יותר כאשר הפתרון היה כפולה של אחד האופרנדים (למשל, 28=6X4) מאשר כשהוא לא היה כפולה כזו (למשל, 25=6X4).  החל מכיתה ב', תלמידים שהתפתחותם תקינה טעו יותר כאשר הפתרון השגוי שהוצע היה קרוב לפתרון האמיתי מאשר כשהפתרון השגוי שהוצע היה רחוק מהפתרון האמיתי.  אצל תלמידים עם MLD דפוס טעויות זה התפתח רק בכיתה ח'.

הרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מתפתחת אצל ילדים שהתפתחותם תקינה בהדרגה.  בתחילה מתפתחת רגישות זו בהקשר לתרגילים קלים, ובהמשך היא מתפתחת בהקשר לתרגילים קשים.   רק מבוגרים מראים רגישות מלאה הן לגודל פתרון התרגיל והן לקשר בין המכפלות בתרגילי כפל חד ספרתיים גדולים, בהם שני האופרנדים גדולים מ – 5. 

 כשמתחילים ללמוד את לוח הכפל, שגיאות של מכפלות קרובות נעשות בדרך כלל רק בתרגילים קלים.  ככל שהמיומנות בלוח הכפל מתפתחת, שגיאות אלה (פתרון שהוא מכפלה קרובה של אחד האופרנדים) הופכות להיות נפוצות יותר גם בתרגילי כפל חד ספרתיים גדולים. שגיאות אלה מעידות על רגישות הולכת וגוברת למכפלות של האופרנדים ולגודל פתרון התרגיל.  

 התפתחות הרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מעידה על כך שחוש המספר מתפתח בעקבות למידת לוח הכפל אצל תלמידים שהישגיהם תקינים.   

גם תלמידים עם MLD מפתחים רגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות, אך רגישות זו מתפתחת לאט יותר ולא מקיפה את כל התרגילים.  היא באה לידי ביטוי בעיקר בתרגילים קטנים ובינוניים.  מידת הדיוק של ילדים בכיתה ח' עם MLD בביצוע משימת המחקר היתה דומה לזו של ילדים שהתפתחותם תקינה הלומדים בכיתה ד'.  כך, רגישות של ילדים עם MLD לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות נצפתה בעיקר בתרגילים קטנים, בתרגילי תאומים ובתרגילי חמש, ופחות בתרגילים בינוניים וגדולים. 

משמעות הדבר היא שרשת תרגילי הכפל המאוחסנת במאגר הידע של תלמידים בכיתה ח' עם MLD אינה שלמה.  הרשת כוללת בעיקר תרגילים קטנים, תרגילי חמש ותרגילי תאומים.  תרגילים בינוניים וגדולים עדיין לא מיוצגים בה בצורה טובה.  ילדים בכיתה ח' עם MLD היו רגישים יותר לקשר בין המכפלות מאשר למרחק בין פתרון התרגיל המוצע לפתרון הנכון.  כלומר קשה להם מאד לשפוט אם גודל פתרון התרגיל המוצע הוא הגיוני. 

החוקרים מציעים שילדים עם MLD צריכים לקבל הוראה שמדגישה פיתוח של היבטים של חוש המספר:  יכולת אומדן של פתרונות של תרגילים והבנה של יחסים בין מספרים.  בעוד שילדים שהתפתחותם תקינה לומדים את ההיבטים הללו באופן ספונטני, ילדים עם MLD זקוקים להנחיה ישירה ומפורשת שלהם.