למה ילדים מתקשים ללמוד את לוח הכפל, ואיך זה קשור להפרעה פרואקטיבית

Noël, M. P., & De Visscher, A. (2018). Hypersensitivity-to-Interference in Memory as a Possible Cause of Difficulty in Arithmetic Facts Storing. In Heterogeneity of Function in Numerical Cognition (pp. 387-408).‏

ילדים מתחילים ללמוד את לוח הכפל בדרך כלל מכפולות של שתיים, ועולים בהדרגה לכפולות של שלוש, ארבע, חמש וכו'.  הילדים בדרך כלל משננים את עובדות הכפל, ולאחר השינון בדרך כלל מצליחים לשלוף אותן מהזיכרון בשליפה ישירה.  אבל יש ילדים שמתקשים מאד לשלוף עובדות כפל רבות.  יש גם ילדים רבים שמצליחים לשלוף את רוב עובדות הכפל אך מתקשים לשלוף מספר תרגילים "עקשניים" כמו 7X8 או 9X8.  יתרה מזו:  גם מבוגרים רבים מתקשים לשלוף תרגילים עקשניים אלה. 

למה זה קורה?  מה יכולה להיות הסיבה לקושי?  מה ההבדל בין ללמוד ולשלוף 6=2X3 לבין ללמוד ולשלוף 56=7X8?  מה ההבדל בין שליפה של עובדות כפל אלה לבין שליפה של עובדות לא מספריות כמו "עיר הבירה של צרפת היא פריס" ו"עיר הבירה של איטליה היא רומא"? 

מסתבר, שקיימת תופעה ייחודית בשליפה של לוח הכפל, הנקראת "אפקט גודל התרגיל".  ככל שערך הספרות המרכיבות את התרגיל גבוה יותר, כך קשה יותר לשלוף אותו.  למשל, קל יותר לשלוף 3X4  מאשר 7X9.  הקושי בשליפת תרגילים במספרים "גדולים" מתבטא בכך שנדרש לאדם זמן רב יותר כדי לפתור תרגילים כאלה, וגם בכך שאנשים שוגים יותר בפתירת תרגילים כאלה.  למה זה קורה?  אם כל התרגילים נשלפים מהזיכרון בשליפה ישירה, למה שגודל הספרות או הערך הכמותי של התוצאה ישפיעו על קלות השליפה?

תאוריות שונות מנסות להסביר את אפקט גודל התרגיל, במידות שונות של הצלחה.  על פי התאוריה של Siegler שנקראת Distribution-of-Associations model , למשל, ילדים לומדים לפתור תרגילי כפל במספרים קטנים באמצעות חיבור חוזר (למשל, את התרגיל 2X3 הילד פותר באמצעות 2+2+2 או באמצעות 3+3).  ביצוע חוזר ונשנה של חיבור חוזר מחזק את הקשר בין התרגיל לפתרונו ו"מקבע" את עובדת הכפל בזיכרון.  תרגילי כפל במספרים גדולים קשה יותר לבצע באמצעות חיבור חוזר (למשל, את התרגיל 7X8 קשה לבצע באמצעות 8+8+8+8+8+8+8  או באמצעות 7+7+7+7+7+7+7+7).  כשילדים מנסים לפתור תרגילים גדולים באמצעות חיבור חוזר, הם מבצעים יותר טעויות.  בכל פעם שהילד טועה, הקשר האסוציאטיבי בין התרגיל לפתרון הנכון נחלש והקשר האסוציאטיבי בין התרגיל לפתרון שגוי מתחזק.  כך לא נוצר קשר חזק וחד משמעי בין התרגיל לפתרונו.

החוקרים Noël  & De Visscher הציעו לאחרונה הסבר נוסף לאפקט גודל התרגיל.  הסבר זה קשור להפרעה פרואקטיבית.   ניזכר, שהפרעה פרואקטיבית היא מצב בו ידע שנלמד קודם (ידע ישן) מפריע ללמידה של ידע חדש.  ככל שהידע הישן דומה יותר לידע החדש, הוא יפריע לו יותר.  דה וישר ונואל שיערו, שתרגילים שדומים זה לזה בספרות המרכיבות אותם יפריעו זה לזה.  תרגיל שנלמד קודם ושחולק ספרות עם תרגיל שנלמד אחריו, יגרום להפרעה פרואקטיבית לתרגיל שנלמד אחריו.  זה יגרום לכך שהילד יתקשה לאחסן בזכרונו את התרגיל שסבל מהפרעה פרואקטיבית. 

דה וישר ונואל יצאו מנקודת הנחה שתלמידים לומדים את לוח הכפל החל מכפולות של שתיים והלאה בהדרגה עד לכפולות של תשע.  הם בחנו כל תרגיל ברצף הזה ובדקו כמה ספרות משותפות הוא חולק עם כל תרגיל שנלמד לפניו.   למשל, התרגיל 8=4X2  חולק את הספרה 2 עם התרגיל 4=2X2 ואת הספרות 2 ו – 4 עם התרגיל 4=2X2.  אלה שני התרגילים שנלמדו לפניו.  לעומת זאת התרגיל 27=9X3 חולק ספרות עם תרגילים רבים שנלמדו לפניו:  6=3X2, 12=4X3, 21=3X7, 24=8X3, 14=2X7, 18=9X2, 9=3X3.  לכן ההפרעה הפרואקטיבית שתיווצר לתרגיל 27=9X3 תהיה גבוהה יותר מההפרעה הפרואקטיבית שתיווצר לתרגיל 8=2X4. 

בצורה כזו חישבו דה וישר ונואל מדד הפרעה לכל תרגיל בלוח הכפל.  הם מצאו, שככל שמדד ההפרעה של תרגיל הוא גבוה יותר, כך קשה יותר לשלוף אותו. 

דה וישר ונואל מצאו שיש הבדל בין ילדים (וגם בין מבוגרים) במידת הרגישות להפרעה פרואקטיבית.  יש ילדים שהדמיון בין גירויים שהם לומדים לא כל כך מפריע להם.  לעומתם יש ילדים (ומבוגרים) שהדמיון בין גירויים שהם לומדים מאד מפריע להם, ועלול לגרום לכך שהם לא יצליחו לאחסן בזכרונם עובדות חדשות שדומות מאד לעובדות שהם כבר למדו. 

דה וישר ונואל גילו שילדים ומבוגרים עם רגישות יתר להפרעה פרואקטיבית, כפי שנמדדה במשימת למידה וזיכרון לא חשבונית, מתקשים יותר לפתור תרגילים במספרים גדולים בלוח הכפל.   יש להדגיש, שיכולת הלמידה האסוציאטיבית של ילדים אלה היא תקינה (כלומר, הם יכולים ללמוד לקשר בין שני גירויים, למשל בין אות לצליל או בין תרגיל לפתרון שלו).  כל עוד הזוגות ביניהם הילדים לומדים לקשר הם שונים זה מזה, אין לילדים הללו קושי.     אך ברגע שאחד מבני הזוג קשור ליותר מבן זוג אחד (למשל א' קשור ל -  ב', ו – א' קשור גם ל - ג'), רגישות היתר להפרעה פרואקטיבית גורמת לקושי ללמוד את הזוג השני (א' עם ג'). 

לממצא זה השלכות מעניינות לגבי התערבות.  ילד שיש לו רגישות יתר להפרעה פרואקטיבית מתקשה להבחין בין תרגילי כפל דומים.  אם נגדיל את מידת המובחנות של תרגילי הכפל השונים, אולי זה יעזור לו לאחסן אותם ולשלוף אותם אחר כך.  אפשר אולי לעשות זאת באמצעות הוספה של מאפיין נוסף ולא רלוונטי לתרגילים, שיעזור להבחין ביניהם (למשל, צבע שונה לכפולות השונות? אבל נדמה לי שניסו דבר דומה בשיטת הבדידים וזה לא הצליח). 

יש לציין שרגישות יתר להפרעה פרואקטיבית גורמת לקשיים ספציפים במשימות חשבון שדורשות ללמוד, לאחסן ולשלוף עובדות בזיכרון.  כלומר, היא פוגעת בלמידה ובאחסון של עובדות כפל (וגם חיבור).  רגישות יתר להפרעה פרואקטיבית אינה גורמת לקשיים אחרים עמם מתמודדים ילדים ומבוגרים עם דיסקלקוליה.  כלומר, זהו קושי ספציפי בלמידה ובאחסון בזיכרון של עובדות חשבון דומות מאד זו לזו. 

אנחנו יודעים לבדוק הפרעה פרואקטיבית באמצעות מבחן REY AVLT ("ריי שמיעתי").  מעניין אם קיים מחקר שבדק את הקשר בין הפרעה פרואקטיבית במבחן זה לבין היכולת לשלוף עובדות כפל.  לא מוכר לי מחקר כזה. 

ייתכן שילד עם רגישות יתר להפרעה פרואקטיבית יתקשה לא רק בלמידה ובשליפה של עובדות כפל דומות אלא גם בלמידה ובשליפה של סוגים אחרים של ידע בעל מאפיינים דומים (אולי אפשר לחשוב על תאריכים בהסטוריה).  כך שייתכן שאיתור של ילדים שסובלים מקושי זה יאפשר לנו לבנות התערבות שתסייע להם לא רק בלמידה של לוח הכפל אלא בלמידה, אחסון ושליפה במובן הרחב יותר.   

???האם חרדה חשבונית נובעת מקושי בעיבוד חזותי מרחבי

Ashkenazi, S., & Najjar, D. (2018). Non-adaptive strategy selection in adults with high mathematical anxiety. Scientific reports, 8(1), 10744.‏

Georges, C., Hoffmann, D. & Schiltz, C. How Math Anxiety Relates to Number–Space Associations. Frontiers in psychology 7, 1401 (2016).  https://core.ac.uk/download/pdf/82862998.pdf

חרדה חשבונית/מתמטית    Math anxiety היא תחושה של מתח וחרדה המפריעה לאדם לפתור תרגילי חשבון ולתפקד במשימות חשבון נוספות.  ממה נובעת חרדה חשבונית?  והאם היא גורמת לקשיים בחשבון או נובעת מקשיים בחשבון? 

על פי תפיסה תיאורטית אחת, חולשה בתפיסת כמות Number sense גורמת לחרדה חשבונית.  תפיסת כמות היא הבנה שלמספרים יש משמעות כמותית.  במשימות שבודקות תפיסת כמות, אנשים מתבקשים לבחור במהירות האפשרית את המספר הגדול בערכו מבין שני מספרים חד ספרתיים (למשל, 8 ו – 3)  או לבחור במהירות האפשרית במקבץ הנקודות בו יש כמות גדולה יותר של נקודות (מבין שני מקבצים). 

 אנשים עם קושי בסיסי בתפיסת כמות (שהוא אחד הסימנים לדיסקלקוליה) מבצעים משימות כאלה באופן איטי מאנשים שתפיסת הכמות שלהם תקינה.  מסתבר, שאנשים עם חרדה חשבונית גבוהה מצליחים פחות במשימות אלה מאשר אנשים עם חרדה חשבונית נמוכה.  לכן ייתכן שחרדה חשבונית נובעת מקושי בתפיסת כמות. 

 יש מחקרים שמוצאים קשר בין חרדה חשבונית לבין חולשה בעיבוד מרחבי.  נמצא מתאם שלילי חזק בין יכולות מרחביות לבין חרדה חשבונית.  אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה מדווחים על חוש כיוון גרוע יותר מאשר אנשים עם חרדה חשבונית נמוכה.  אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה הם בעלי יכולת נמוכה יותר לבצע רוטציה מנטלית מאשר אנשים עם חרדה חשבונית נמוכה (אך ממצא זה לא תמיד נמצא באופן עקבי). 

 מחקרים אחרים קושרים תפיסת כמות לעיבוד מרחבי.   מספרים מיוצגים על פני ציר מספרים מנטלי, כאשר מספרים קטנים ממוקמים בצד שמאל ומספרים גדולים בצד ימין.  לפי גישה זו, חולשה מרחבית אצל אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה יכולה למנוע את ההתפתחות של ציר מספרים מנטלי. 

 איך יודעים שיש לנו ציר מספרים מנטלי?  אחת העדויות לכך היא אפקט סנארק המעניין.  SNARC (spatial– numerical association of response codes) Effect  

אפקט סנארק מתגלה כאשר מציגים לאנשים זוג מספרים על מסך (למשל, 7 ו – 2), ומבקשים מהם  ללחוץ במהירות האפשרית על המקש הימני אם המספר המוצג בצד ימין גדול יותר בערכו מהמספר המוצג בצד שמאל, וללחוץ במהירות האפשרית על המקש השמאלי אם המספר המוצג בצד שמאל גדול יותר בערכו מהמספר המוצג בצד ימין.  

מסתבר, שאנשים מגיבים מהר יותר למספרים קטנים המופיעים בצד שמאל ולמספרים גדולים המופיעים בצד ימין.  חוקרים חושבים שההסבר לתופעה מעניינת זו הוא קיומו של ציר מספרים מנטלי, שעליו אנו ממקמים מספרים הולכים וקטנים משמאל ומספרים הולכים וגדלים מימין. 

אצל אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה יש אפקט סנארק חזק יותר מאשר אצל אנשים עם חרדה חשבונית נמוכה!  כלומר, אצל אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה הקשר בין מספר לבין יצוג מרחבי הוא חזק מאד. 

עד עתה עסקנו בתאוריה שעל פיה חרדה חשבונית נובעת מקושי בתפיסת כמות (שנובעת בתורה מקושי ביצוג של מספרים על ציר מספרים מנטלי).  על פי תפיסה תיאורטית שניה, חרדה חשבונית גורמת לקשיים בחשבון.  בגלל החרדה, האדם עסוק במחשבות מטרידות ("אצליח בתרגיל הזה או לא?").  מחשבות אלה מעסיקות את זיכרון העבודה ומשאירות פחות משאבי זיכרון עבודה פנויים כדי לפתור תרגילי חשבון, במיוחד כשעובדים תחת לחץ זמן.  על פי הגישה הזו, אנשים עם חרדה חשבונית מתקשים במיוחד בתרגילי חשבון שדורשים הרבה מזיכרון העבודה (כמו חיבור רב ספרתי במאונך), אך מצליחים יותר בתרגילי חשבון שלא מעיקים על זיכרון העבודה (למשל, לשלוף את התשובה לתרגיל =3X4).  

על פי תפיסה שניה זו, מכיוון שהחרדה תופסת משאבים קוגניטיבים, היא משפיעה לא רק על זיכרון העבודה אלא גם על תפקודים ניהוליים נוספים.  החרדה החשבונית פוגעת ביכולת של האדם להפעיל איניהיביציה (ולחסום, למשל, שימוש אוטומטי באסטרטגיה חשבונית שאינה מתאימה לתרגיל שלפניו), ולעשות SHIFTING (למשל, לבחור מבין כמה אפשרויות את האסטרטגיה המתאימה ביותר לביצוע התרגיל שלפניו). 

מי התאוריה החזקה מבין השתיים?  במחקר שערכו Georges וחבריו ב – 2016, אפקט סנארק ניבא חרדה חשבונית מעל ומעבר לביצוע במשימות חשבון, לזיכרון עבודה ולשליטה אינהיביטורית, מה שמוביל את החוקרים למסקנה שחרדה חשבונית קשורה לתפיסת כמות וכנראה גם לקישור בין כמות לבין מרחב. 

הבדלים בין המינים במשימות אומדן

Wei, W., Chen, C., & Zhou, X. (2016). Spatial ability explains the male advantage in approximate arithmetic. Frontiers in psychology, 7, 306.‏

https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2016.00306/full

קיים תת ייצוג של נשים בתחומי דעת רוויים במתמטיקה:  מדע, טכנולוגיה, הנדסה ומתמטיקה.  עד כמה תופעה זו נובעת מהבדלי הזדמנויות או מהבדלים מוחיים בין בנים לבנות?

בגיל צעיר בנות מצליחות בחשבון יותר מאשר בנים.  הסבר אפשרי אחד לכך הוא שמשימות חשבון מסוימות (למשל תרגילים של חיבור פשוט וכפל) נשענות על עיבוד שפה, תחום שבו יש לבנות יתרון.  ובאמת, לאחר שמנכים את ההשפעה של שפה על חשבון, היתרון של בנות על בנים בגיל הצעיר נעלם.  

יש משימות חשבון שלא נשענות על עיבוד לשוני.  בשונה מהיכולת לפתור תרגילי חשבון באופן מדויק, משימות של אומדן (למשל, "מבין 3 ו – 8, איזה מספר קרוב יותר לתשובה לתרגיל 4+5?") דורשות פחות עיבוד מילולי.  כמובן, מדובר במשימה מסוג זה שהילד מבצע שוב ושוב, לאחר שהבין את ההנחיה המילולית.  משימת אומדן כזו נשענת יותר על חוש הכמות, על "ציר המספרים" הפנימי ועל עיבוד מרחבי.  משימות אומדן מערבות את האונה הפריאטלית, המעורבת גם בעיבוד ויזו – מרחבי.   

מחקר זה של Wei וחבריו בדק הבדלים בין המינים באומדן בשני ניסויים.

בניסוי הראשון השתתפו 496 ילדים בכיתות ו' – ח', בני 11-16.  הם עברו סדרה של מבחנים ממוחשבים במתמטיקה ומבחנים קוגניטיבים אחרים.  המבחנים נערכו בקבוצות של 30-40.  הילדים התבקשו לאמוד את התוצאה של תרגילי חיבור, חיסור, כפל וחילוק רב ספרתיים (למשל:  1123+8743).  כמו כן הם ביצעו מספר משימות קוגניטיביות:  רוטציה מנטלית תלת מימדית, מטריצות רייבן, זיכרון עבודה מרחבי (לחזור על רצף של נקודות שמוצגות בזו אחר זו על לוח של 3X3. מספר הנקודות היה3-7 ), עיבוד מילולי סמנטי (לקרוא משפט ולהשלים מלה שחסרה בו מבין מסיחים).

בנים הצליחו יותר מבנות באומדן וברוטציה מנטלית.  בנות הצליחו יותר מבחנים במשימה המילולית הסמנטית ובמטריצות רייבן.  לא היה הבדל בין המינים בזיכרון עבודה מרחבי.  לאחר שניכו את ההשפעה של הרוטציה המנטלית על הביצוע במשימות האומדן, נעלמו ההבדלים בין המינים באומדן.  כלומר, ההבדלים בין המינים באומדן נגרמו ככל הנראה בשל יתרון שיש לבנים בעיבוד מרחבי.  המשימות הקוגניטיביות האחרות (המשימה המילולית, מטריצות רייבן, זיכרון עבודה מרחבי) לא הסבירו את ההבדלים בין המינים באומדן.

בניסוי השני השתתפו 554 סטודנטים בגילאי 18-21.  292 מהסטודנטים היו במגמות של כימיה, מחשבים, ביולוגיה, מתמטיקה ופיסיקה והשאר במגמות הומניות.  הפרוצדורה היתה זהה לניסוי הראשון.

גם בניסוי זה, סטודנטים בנים הצליחו יותר מבנות באומדן וברוטציה מנטלית.  בנות הצליחו יותר מבנים בעיבוד מילולי סמנטי.  לא היו הבדלים בין המינים בזיכרון עבודה מרחבי ובמטריצות רייבן.  סטודנטים למדעים הצליחו יותר מסטודנטים למדעי הרוח באומדן.  המקצוע הנלמד לא הבחין בין סטודנטים במטריצות רייבן, זיכרון עבודה מרחבי ועיבוד סמנטי. 

לאחר שניכו את התרומה של הרוטציה המנטלית לאומדן, ההבדלים בין המינים באומדן נעלמו.  הבדלים אלה לא נעלמו לאחר שניכו את התרומה של המשימות האחרות לאומדן. 

כלומר התוצאות בניסוי השני היו דומות לאלה שבניסוי הראשון.  ככל הנראה, יתרון בעיבוד מרחבי גרם לכך שסטודנטים בנים הצליחו יותר מבנות במשימות אומדן.  גברים מצליחים יותר מנשים במשימות של עיבוד מרחבי, ובמיוחד ברוטציה מנטלית.  ההבדלים בין המינים במשימה הזו מתחילים בגיל שלושה וחצי חדשים ומתמידים לכל אורך החיים.  וקיימים בכל התרבויות. 

אומדן נשען על יכולת מרחבית אך לא על שפה.  במחקר אחר, אנשים דו לשוניים אומנו לבצע חשבון מדויק ואומדן בשתי השפות.  השפה בה הם התאמנו השפיעה על הביצוע בחשבון המדויק אבל לא על הביצוע במשימת אומדן.  ילדים לקויי שפה מתקשים בביצוע חשבון מדויק (לפתור תרגילי חשבון), אך לא מתקשים בביצוע אומדן.    

הבדלים בפעילות מוחית בעת ביצוע תרגילי חשבון בין ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך וגבוה

Demir-Lira, Ö. E., Prado, J., & Booth, J. R. (2016). Neural correlates of math gains vary depending on parental socioeconomic status (SES). Frontiers in psychology, 7, 892.‏

בעת ביצוע פעולות חשבון שונות, אנו נשענים על מגוון רחב של אזורים מוחיים, ביניהם אזורים הקשורים לעיבוד מילולי ואזורים הקשורים לעיבוד מרחבי.  פעילות מוחית באזורים מילוליים קשורה לשליפה של עובדות חשבון ולתפקודים ניהוליים, בעוד שפעילות באזורים מרחביים קשורה למניפולציה של כמויות. 

בעבר נמצא שילדים בני 10-12 עם מיומנות נמוכה בחיבור וחיסור במספרים קטנים מפעילים אזורים מוחיים הקשורים ליצוגים מרחביים יותר מאשר ילדים עם מיומנות גבוהה בפעולות אלה.  החוקרים הסבירו ממצא זה בכך שילדים בעלי מיומנות נמוכה נשענים על יצוגים מרחביים ועל פרוצדורות (כמו ספירה) בעוד שילדים עם מיומנות גבוהה שולפים את הפתרון לתרגיל מהזיכרון, תוך שהם נשענים על יצוגים מילוליים.

קיימים הבדלים גדולים יותר בין ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך לגבוה בהיבטים המילוליים של מתמטיקה (למשל, פתרון תרגילים שמוצגים באופן מילולי) מאשר בהיבטים מרחביים של מתמטיקה (חישובים לא מילוליים, למשל באמצעות כמויות של נקודות).  באופן כללי, בין ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך לגבוה קיימים יותר הבדלים בכישורים מילוליים מאשר בכישורים מרחביים.   

במחקר זה בדקו החוקרים Demir-Lira  וחבריו פעילות מוחית אצל ילדים בני 8-13  במהלך ביצוע תרגילי חיסור חד ספרתי ובמהלך ביצוע משימות אחרות של עיבוד מילולי ועיבוד מרחבי.  במחקר השתתפו 33 ילדים.  רמת המשכל שלהם היתה 80 ומעלה.  הבעיה עם מחקר זה היא שרמת ההשכלה הממוצעת של המטפל הראשי בילד (מן הסתם, בדרך כלל האם) היתה 6 (על סקאלה של 1-7 כש – 7 זו רמת ההשכלה הגבוהה ביותר), ורמת התעסוקה הממוצעת של המטפל הראשי היתה 6 (על סקאלה של 1-9, כש – 9 זו רמת התעסוקה הגבוהה ביותר).  כלומר, המצב הסוציואקונומי הממוצע במחקר זה היה מעט גבוה מהממוצע.  לכן כשחוקרים אלה משווים בין מצב סוציואקונומי גבוה לנמוך, הם לא כוללים ילדים ממצב סוציואקונומי ממש נמוך. 

הפעילות המוחית בעת ביצוע תרגילי חיסור נבדקה פעמיים בהפרש זמן של שלוש שנים, כדי לראות שינויים באזורים המוחיים הפעילים לאורך זמן זה.  בשתי נקודות הזמן הילדים ביצעו גם מבחן שבדק שטף חשבוני (מהירות בפתירה של תרגילי חשבון פשוטים).

ראשית נמצא, שלא היה קשר בין המצב הסוציואקונומי לבין רמת הביצוע במבחן שטף חשבוני בבדיקה הראשונה.  לא היה קשר בין המצב הסוציואקונומי לבין מידת השינוי וההתפתחות בביצוע במבחן השטף החשבוני בבדיקה השניה.   

לצד זה נמצא, שאצל ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה יותר, התפתחות בשטף חשבוני בין שתי הבדיקות היתה קשורה יותר לפעילות באזורים מוחיים מילוליים (בעת ביצוע תרגילי חיסור) מאשר אצל ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך יותר.  אצל ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך יותר, התפתחות בשטף החשבוני בין שתי הבדיקות היתה קשורה יותר לפעילות באזורים מוחיים מרחביים (בעת ביצוע תרגילי חיסור) מאשר אצל ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה יותר. 

כלומר, ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה יותר משתמשים באזורים מוחיים הקשורים לעיבוד מילולי בעת ביצוע תרגילי חיסור יותר מאשר ילדים ממצב סוציאקונומי נמוך יותר.  אצל ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך יותר מתרחשת, בעת ביצוע תרגילי חיסור, פעילות מוחית רבה יותר באזורים הקשורים לעיבוד מרחבי מאשר אצל ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה יותר.  משמעות הדבר היא, שבהתאם למצב הסוציואקונומי, ילדים עשויים להשתמש ברשתות מוחיות שונות כדי לבצע פעולות מתמטיות!

ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה חשופים יותר לשפה באופן כללי וגם מדברים יותר עם הוריהם על חשבון באופן ספציפי.  כך, ייתכן שהם לומדים להשתמש יותר בייצוגים מילוליים כאשר הם פועלים בחשבון.  קיימים הבדלים קטנים יותר בין המצבים הסוציואקונומים במידת החשיפה לגירויים מרחביים. 

תכניות התערבות לשיפור כישורי חשבון אצל ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך משפרות ביצוע בהיבטים מילוליים של המתמטיקה, למשל השוואה בין מלות מספר, אבל לא משפרות ביצוע בהיבטים מרחביים של מתמטיקה כמו השוואה בין כמויות של נקודות.  כלומר כדי לסייע לילדים ממצב סוציואקונומי נמוך כדאי לפתח את "שפת החשבון", שימוש בשפה בעת ביצוע פעולות חשבון.

מסתבר שגם בקריאה, ילדים ממצב סוציואקונומי נמוך נשענים יותר על תהליכים ויזו – מרחביים אורתוגרפים מאשר ילדים ממצב סוציואקונומי גבוה.  מעניין לקרוא על כך עוד.

אילו מיומנויות חשבוניות מושפעות מתפיסת כמות?

Braham, E. J., & Libertus, M. E. (2018). When approximate number acuity predicts math performance: The moderating role of math anxiety. PloS one, 13(5), e0195696.‏   https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0195696

בני אדם וגם חיות נולדים עם תפיסת כמות, כלומר עם הבנה שלסט של דברים יש כמות, ושמניפולציה על הסט  (הוספה או החסרת פריטים) משפיעה על הכמותיות שלו.  למשל, קיימת כמות שתתאר את מספר הפסיכולוגים בתחנה שבה אתם עובדים.  אם יקלטו בתחילת שנת הלימודים הבאה פסיכולוגים חדשים, תתבצע "מניפולציה על הסט" שתשנה את הכמותיות שלו (יהיו כעת 22 פסיכולוגים בתחנה במקום 20, למשל).

יכולת זו לתפיסת כמות נקראת NUMEROSITY או NUMBER SENSE .  כאשר מדובר בכמויות קטנות (אחד עד ארבעה אובייקטים) אנחנו יכולים לתפוס את הכמות המדויקת שלהם במבט אחד, מבלי לספור.  כשמדובר בכמויות גדולות יותר, אנו יכולים להעריך את גודלן מבלי למנות אותן, ובמיוחד אני יכולים להבחין בהבדלים בין כמויות (מבלי למנות).  אנו יכולים לזהות, למשל, שמספר העטים בקבוצה המכילה 12 עטים רב יותר ממספר העטים בקבוצה המכילה 9 עטים, גם אם אנו לא יודעים לומר בדיוק כמה עטים יש בכל אחת מהקבוצות.  אנו עורכים השוואות כאלה בין כמויות של מעל ארבעה אובייקטים באמצעות מערכת ההערכה בקירוב  APPROXIMATE NUMBER SYSTEM (ANS). 

 יש הבדלים בין אנשים במידת הדיוק שבה הם מעריכים כמויות והבדלים בין כמויות, כלומר במידת הדיוק/החדות של ה – ANS.  למשל, מבוגרים עם ייצוגים מדויקים יותר של כמויות יכולים לזהות בקלות הבדלים בין כמויות ביחס של 9:10, בעוד שאחרים מתקשים להבחין בין כמויות ביחס של 4:3.  קושי משמעותי בתפיסת כמות הוא אחד המאפיינים של דיסקלקוליה.  ועדיין, קיים ויכוח בין חוקרים לאילו מיומנויות מתמטיות קשורים הבדלים בינאישיים בחדות ה – ANS .  

שאלה זו נבדקה במחקר זה.  במחקר השתתפו 86 סטודנטים.  הם נבחנו במבחנים שבודקים את חדות ה – ANS וכן במבחנים שבדקו חרדה חשבונית, הישגים בחשבון וזיכרון עבודה.  החוקרים רצו לדעת עד כמה חדות ה – ANS ועד כמה חרדה חשבונית או זיכרון עבודה משפיעים על מיומנויות שונות במתמטיקה.  החוקרים שאלו את הסטודנטים גם על מספר הקורסים שהם לקחו במתמטיקה, כדי לדעת עד כמה ידע והתנסות משפיעים על מיומנויות שונות במתמטיקה.

כדי לבדוק את חדות ה – ANS, הסטודנטים ראו מקבצים של נקודות כחולות וצהובות על מסך מחשב והתבקשו לבחור במהירות האפשרית במקבץ בו יש יותר נקודות.  כל מקבץ הכיל בין 12 ל – 36 נקודות בגדלים שונים, והיחסים בין כמות הנקודות שנבדקו נעו בין יחס של 3:4 (הקל ביותר) ועד יחס של 9:10 (הקשה ביותר). 

מיומנויות מתמטיות נבדקו באמצעות מבחנים ממבחן ה – WJ3ACH  (מבחני ההישגים של מבחן הוודקוק ג'ונסון, שלא יהיו זמינים בארץ במהדורה ישראלית).  החוקרים בחרו שלושה מבחנים:  מבחן חישובים, מבחן שטף חשבוני ומבחן בעיות יישומיות.  מבחן חישובים בודק את היכולת לבצע חישובים מתמטים בכתב (חשבון, גאומטריה, טריגונומטריה, לוגריתמים וחשבון דיפרנציאלי).  מבחן שטף חשבוני בודק את היכולת לשלוף במהירות ובשטף את הפתרון לתרגילים פשוטים בחיבור, חיסור וכפל.  מבחן בעיות יישומיות בודק את היכולת לפתור בעיות מילוליות המוצגות בעל פה (לבחור את המידע הרלוונטי, לזהות את הפרוצדורה שצריך לבצע, ולבצע את החישוב המתאים).  במבחן זה חלק מהמידע מוצג באופן חזותי (המידע כתוב או מופיע תרשים) והנבחן יכול להשתמש בדף טיוטא. 

זיכרון עבודה נבדק על ידי זכירת ספרות לאחור.  

חרדה חשבונית נבדקה על ידי שאלון.   

תוצאות:

מה שניבא הכי טוב את ההצלחה במבחן שטף חשבוני היה חדות ה – ANS והחרדה החשבונית.  כלומר, תפיסת כמות מדויקת וחדה עומדת בבסיס היכולת לשלוף במהירות עובדות חשבון בסיסיות.  חרדה חשבונית פוגמת ביכולת לשלוף עובדות חשבון במהירות ובשטף.  מכיוון שחרדה חשבונית היתה פחות קשורה לביצוע במבחני החשבון האחרים, החוקרים סבורים שחרדה חשבונית משפיעה יותר על מבחני חשבון שדורשים ביצוע מהיר (כמו שטף חשבוני) מאשר על מבחני חשבון שאינם מוגבלים בזמן (כמו מבחן החישובים ומבחן הבעיות היישומיות).    זיכרון עבודה ומספר הקורסים במתמטיקה שהסטודנט לקח היו קשורים פחות לציונים במבחן שטף חשבוני.

אצל אנשים עם חרדה חשבונית גבוהה, חדות ה- ANS ניבאה את ההצלחה במבחן הבעיות היישומיות (יותר מכל המבחנים האחרים).   כדי להחליט כיצד לפתור בעיה מילולית וכדי לדעת להתמקד במידע הרלוונטי לפתרון ולהתעלם מהמידע הלא רלוונטי, צריך להבין באופן עמוק את את היחסים בין הכמויות המוצגות בבעיה.  לאנשים עם תפיסת כמות מדויקת וחדה יש  סיכוי גדול יותר לבחור באסטרטגיות יעילות כדי לפתור את הבעיות וכדי לגלות שגיאות במהלך הפתרון.  אנשים עם ייצוגים מדויקים יותר של כמויות מזהים בקלות רבה יותר אם התוצאה הגיונית או לא (למשל, תפיסת כמות עוזרת להבין שכאשר מבצעים פעולת חיבור במספרים חיוביים התוצאה תמיד גדולה יותר משני המחוברים. ואז אם מקבלים תוצאה קטנה יותר זה מיד בולט לעין כלא הגיוני).  אנשים עם רמות גבוהות של חרדה חשבונית עלולים להתקשות להתמקד במשימה המתמטית מכיוון שהחרדה תוספת את המשאבים הקוגניטיביים שלהם (קשב, זיכרון עבודה).  כך, סטודנטים עם חרדה חשבונית גבוהה עלולים לטעות בשל עומס על זיכרון העבודה ועל משאבי הקשב שנגרם מהחרדה.  כאשר לסטודנט חרד יש  ANS חדה (תפיסת כמות מדויקת), הוא יצליח טוב יותר לזהות ולתקן טעויות במבחן הבעיות היישומיות, שאינו מוגבל בזמן.

מה שניבא את ההצלחה במבחן החישובים המתמטים הוא מספר הקורסים במתמטיקה שהסטודנט למד (יותר מאשר חדות ה – ANS, חרדה חשבונית וזיכרון עבודה).   מבחן החישובים דרש הפעלה של פרוצדורות מוכרות (כמו פרוצדורה לחילוק במאונך), לעתים קרובות ללא עיבוד עמוק של המשמעות הכמותית של המספרים או של הפתרון.  כך, הביצוע במבחן החישובים נשען יותר על כמות ואיכות ההוראה שהסטודנט קיבל וכמות התירגול שהוא ביצע בפרוצדורות אלה, מאשר על תפיסת כמות. 

לא נמצא קשר בין חדות ה – ANS לבין חרדה חשבונית.   כלומר, חרדה חשבונית לא נגרמת מקושי בסיסי בתפיסת כמות.   יש חוקרים הסבורים שחרדה חשבונית עשויה להתפתח כתוצר של אינטראקציה של הילד עם הורים או מורים שיש להם חרדה חשבונית.  מאידך תמיכה של הורים ומורים יכולה להפחית חרדה חשבונית.  

מה הקשר בין קריאת מלים לקריאת מספרים?

לפוסט זה הוכנס תיקון בתאריך 14.4.19.  כתבתי שהיצוג החזותי של מספרים מאפשר יצוג פנימי של ישר המספרים, אך זה אינו מדויק.  ישר המספרים המנטלי קשור כנראה יותר ליצוג האנלוגי של מספרים.  

יואל הוא מהנדס שסובל מאפזיה בעקבות ארוע מוחי שקיבל בגיל 72.  בעקבות הפגיעה המוחית, יואל מביע את עצמו בעיקר במילים בודדות או בצירופים קצרים ולא במשפטים שלמים, והוא מתקשה לקרוא מלים בודדות.  האם הוא מתקשה גם לקרוא מספרים?

סטניסלאס דהאן, חוקר נודע של הקוגניציה בכלל ושל קוגניציה מספרית בפרט, פיתח בשנת 1992 את מודל שלושת הקודם לקידוד המשמעות של מספרים   ( Dehaene and Cohen, 1995)    Triple code model   .  על פי מודל זה, מספרים מיוצגים במוח בשלוש דרכים:   א.  ייצוג ורבלי:  מספרים מיוצגים כרצפים של מלים בסדר תחבירי מסויים ("אלף שלוש מאות עשרים וארבע").  גם עובדות חשבון בסיסיות מיוצגות כמו משפט לשוני ("תשע כפול תשע שווה שמונים ואחת").  קשיים בייצוג הורבלי יכולים לפגוע ביכולת לשיים ספרות ולשלוף עובדות חשבון בסיסיות.    ב.  ייצוג חזותי:  המספרים מיוצגים כרצף של ספרות (למשל4521).   זהו בעצם ייצוג אורתוגרפי למיטב הבנתי.    ג.  ייצוג אנלוגי, של כמות.  ייצוג של המשמעות הכמותית של המספר (בעצם, ייצוג סמנטי).  בעזרת ייצוג זה ניתן, למשל, לקבוע שהמספר 9 גדול מהמספר 3. 

שלושת הייצוגים הינם נפרדים וקיימות דיסוציאציות ביניהם (כלומר אחד מהם יכול להיות פגוע אבל לא האחרים).  הם מנוהלים ע"י אזורים נפרדים במוח.  עם זאת, הם קשורים באופן הדוק זה לזה, וקיימת ביניהם אינטראקציה.  דהאן טוען שקיימים מסלולי "תרגום" ישירים בין כל זוג של ייצוגים (כלומר, לא בכל פעם שאנו מתייחסים למספר אנו מייצגים אותו בכל שלושת הייצוגים).  למשל, המסלול הישיר שבין הייצוג הורבלי לחזותי מאפשר לאנשים לקרוא או לכתוב מספרים גם מבלי לעבד את הייצוג הסמנטי שלהם (את המשמעות הכמותית שלהם).  המסלול הישיר בין הייצוג הכמותי לייצוג החזותי אינו לוקח בחשבון מידע תחבירי וכו'.  אנחנו עוברים מייצוג לייצוג כדי לבצע משימות שניתן לבצע רק בייצוג מסוים.  למשל, כדי להשוות בין ספרות (לומר מי יותר גדול, 9 או 3), צריך לתרגם את השאלה לייצוג כמותי, ואילו כדי לשלוף את הפתרון לתרגיל 3X2 צריך לתרגם את התרגיל לייצוג ורבלי (לדעת דהאן, עובדות החשבון כמו "שתיים כפול שלוש שווה שש" מאוחסנות בייצוג ורבלי).

מודל זה של דהאן מזכיר לי מאד את המודל לקריאה של מלים בודדות שהוצג כאן בעבר (פרידמן וקולטהארט, 2017).  על פי מודל זה, קריאת מלה בודדת מוכרת, אצל קוראים תקינים, נשענת על הפעלה של שלושה לקסיקונים:  לקסיקון אורתוגרפי (בו מצויה המלה בצורתה הכתובה), לקסיקון סמנטי (בו מצויה משמעות המלה) ולקסיקון פונולוגי (בו מצוי הצורה הדבורה של המלה – רצפי הצלילים המרכיבים אותה).   הלקסיקון האורתוגרפי עשוי להיות מקביל לייצוג החזותי במודל של דהאן; הלקסיקון הסמנטי עשוי להקביל לייצוג האנלוגי – כמותי; והלקסיקון הפונולוגי עשוי להקביל (באופן גס) לייצוג הורבלי. 

עד כמה קיימת באמת חפיפה בין שני המודלים? 

ראשית, אני בטוחה שלא קיימת חפיפה מלאה.  לא כל אדם שמתקשה לקרוא מלים בודדות מתקשה גם לקרוא מספרים, ולהיפך.  הקישור בין המודלים עשוי להיות מאד מאולץ, אך עדיין מעניין לחשוב עליו:

הלקסיקון האורתוגרפי מאפשר לנו לזהות מלים מוכרות.  האם יש קשר בין הלקסיקון האורתוגרפי לייצוג החזותי של מספרים?  אלקסיה ALEXIA היא הפרעה נרכשת שבה האדם לא מסוגל לקרוא מלים כתובות אבל כן מסוגל לכתוב מלים(!) ושאר כישורי השפה שלו אף הם תקינים.  אלקסיה מאופיינת בקריאה איטית ומאומצת אבל מדויקת ברובה.  ככל שהמלה ארוכה יותר נדרש לאדם עם אלקסיה זמן רב יותר כדי לקרוא אותה.  גם אנשים עם אלקסיה טהורה נוטים להיות פחות פגועים בקריאת ספרות מאשר בזיהוי אותיות ובקריאת מלים.  בתנאים של חשיפה מהירה של הגירוי, אנשים מזהים ספרות טוב יותר מאשר אותיות.  ייתכן שההבדל שקיים אצל אלקסים טהורים בין זיהוי מלים מוכרות לבין זיהוי ספרות וקריאת מספרים הוא העצמה של ההבדל הנורמלי בין עיבוד ספרות לאותיות Starrfelt)   Behrmann and (2011 .  אמרנו קודם שהלקסיקון האורתוגרפי מאפשר לנו לזהות מלים מוכרות.  מעניין אם זיהוי של "מספרים מוכרים" כמו 1948, 1492 מתבצע אף הוא בלקסיקון האורתוגרפי (כלומר שמספר מוכר מעובד כמו מלה מוכרת).

הלקסיקון הפונולוגי מאחסן את הקוד הפונולוגי של מלים.  אדם עם לקות בלקסיקון הפונולוגי יכול לקרוא מלים בקריאה דמומה אך מתקשה לקרוא מלים בקריאה קולית, או משבש את  קריאתן הקולית (למשל, משכל אותיות בקריאה קולית). פגיעה בלקסיקון הפונולוגי מתבטאת לא רק בקריאה אלא פוגעת גם בדיבור.  האם יש קשר בין הלקסיקון הפונולוגי לייצוג הורבלי של מספרים?  מכיוון שהייצוג הורבלי של מספר רב ספרתי מורכב ממספר מלים ולא ממלה אחת ("שלוש מאות ארבעים ושתיים"), מתקיימים בין המלים יחסי תחביר.  לכן בהיבט הזה, המודל לקריאת מלים בודדות לא יכול להיות לגמרי חופף למודל לקריאת מספרים.  מאידך, קריאת מלים בודדות דורשת פענוח של ההיבטים הדקדוקיים של המלה (למשל, פענוח המלה "התלבשתי" דורש את פענוח של מרכיבי השורש ומרכיבי הבניין).  פרופ' נעמה פרידמן כותבת שבמודל קריאת מלים בודדות, ניתוח מורפולוגי ראשוני של מלה (פירוק המלה מהמוספיות שלה והפרדה בין אותיות השורש לאותיות התבנית (למשל, מעבורות:  עבר +מ (מכשיר) +ות (נקבה, רבים)) מתבצע בבאפר הקלט האורתוגרפי, כלומר בשלב מוקדם מאד, עוד לפני שהמלה מגיעה אל כל אחד משלושת הלקסיקונים. 

הייצוג הורבלי מקודד מספרים כרצפי מלים בסדר תחבירי מסויים ("שלוש מאות עשרים וארבע").   תחביר מתייחס למשמעות הנובעת מסדר המלים במשפט.   כאשר משנים את סדר המלים במשפט משתנה גם המשמעות (כלב נשך אדם – אדם נשך כלב).  כך גם בחשבון.  לסדר הספרות במספר יש משמעות, וכאשר משנים את הסדר משמעות המספר משתנה (1984 – 1948).   אנשים עם אפזית ברוקה (פגיעה מוחית באזור ברוקה) מבינים את המשמעות של מלים ומשפטים (הסמנטיקה שלהם תקינה) אך התחביר שלהם פגוע.  אנשים אלה עלולים לבצע שגיאות תחביריות בקריאת מספרים ובכתיבתם.  למשל, הם עלולים לקרוא 14 כ – 4.   כאשר הם קוראים "שלוש מאות אלף וארבע מאות" קשה להם להבין שלכל אחת מהמלים "מאות" יש משמעות שונה.   לאנשים אלה קשה לעבור מקוד ורבלי ("שלוש מאות ארבעים ושתיים") לקוד חזותי (342) ולהיפך  (  Ardila and  Rosselli,  2002 ).

נחזור לאדם המכונה "יואל" שהוצג בראשית הפוסט.  ראינו, שיואל מתקשה להביע את עצמו במשפטים ומתקשה לקרוא מלים בודדות.  פרופ' נעמה פרידמן, דרור דותן ופרופ' סטניסלאס דהאן בדקו את יכולות עיבוד המספרים שלו.   התברר, שיואל מתקשה מאד לקרוא מספרים רב ספרתיים בקול, וקורא אותם ספרה ספרה (למשל, את המספר 47 הוא קורא "ארבע, שבע").  הוא מתקשה להפיק בדיבור את מלת העשרות ואת צורת העשרה ("ארבע עשרה").  כלומר הוא מתקשה להמיר מספרים דו ספרתיים ומעלה למלות מספר (לייצוג מילולי – פונולוגי).  הליקוי שלו בחשבון הוא בעל אופי תחבירי, אך יואל לא איבד את כל יכולותיו התחביריות: במטלות של קריאת מספרים יואל מעולם לא אומר את מילת היחידות לפני מילת העשרות. מכאן שהוא מצליח לקודד את הסדר היחסי בין הספרות, מידע שניתן להגדיר בתור מידע תחבירי.

הייצוג החזותי של מספרים תקין אצל יואל.  בניגוד לקושי שלו בכתיבת מלים, יואל מצליח לכתוב מספרים באופן תקין, גם על פי הכתבה.  זה מעיד על כך שלמרות הקושי שלו להמיר ספרות למלות מספר, הוא מצליח לבצע את המשימה בכיוון ההפוך:  להמיר מלות מספר לספרות.   יואל מבין את המשמעות הכמותית של המספר, והייצוג הכמותי שלו תקין (למשל, הוא מצליח למקם מספרים על ציר המספרים ומצליח לבצע חיבור דו-ספרתי כל עוד אינו נדרש לומר את התשובה במילים).  

הלקסיקון הסמנטי מאחסן את מאגר המשמעויות של המלים.  פגיעה בלקסיקון הסמנטי מפריעה לאדם להבין את משמעותן של מלים שהוא קורא.  פגיעה כזו מתבטאת לא רק בקריאה אלא פוגעת גם בהבנת מלים דבורות.  האם יש קשר בין הלקסיקון הסמנטי לייצוג האנלוגי / כמותי של מספרים? המאפיין המרכזי של דיסקלקוליה הוא פגיעה בחוש המספר – NUMBER SENSE – פגיעה בתפיסת כמות, במשמעות הכמותית של המספר.  קושי בתפיסת כמות יכול להתבטא, למשל, כך:  מתבגר מחשב תרגילים פשוטים באמצעות האצבעות; כאשר מתבגרת מנסה לפתור את התרגיל 22+5 היא מציירת 22 קווים, מציירת 5 קווים, וסופרת את כל הקווים שציירה מ – 1 עד 27; מתבגרת אינה משתמשת בחוק החילוף (אינה יודעת ש:   5+7=7+5); מתבגר אינו חש שהתוצאה שקיבל בלתי הגיונית בעליל; למתבגר יש קושי בסיסי מאד באומדן; מתבגרת מתקשה לשלוף ממאגר הידע עובדות חשבון בסיסיות, כמו חיבור, חיסור וכפל במספרים קטנים; מתבגר מתקשה למקם מספר על ציר המספרים (השתמשתי במלה "מתבגר" בפיסקה זו כדי שיהיה ברור שלא מדובר בתפקוד של ילדים צעירים שכישורי החשבון הבסיסיים עדיין מתפתחים אצלם).   

 אנשים עם אפזית ורניקה (פגישת ראש באזור ורניקה) מתקשים להבין את המשמעות של מלים ומשפטים, ולכן מבצעים טעויות לקסיקליות וסמנטיות משמעותיות מאד.  הדבר מתבטא הן בשימוש בשפה והן באמירה, קריאה וכתיבה של מספרים.   למשל, כאשר הם כותבים מספרים המוכתבים להם, הם עשויים לכתוב מספרים אחרים לגמרי (למשל האדם מתבקש לכתוב 257, הוא אומר בקול רם 820 וכותב 193);  אנשים עם אפזית ורניקה עשויים לקרוא 37 כ – 27, או לקרוא 1527 כ – 15,27)    ( Ardila and  Rosselli,  2002).

התיאורים המעטים שמצאתי בספרות של שגיאות בחשבון שמבצעים אנשים עם אפזית ורניקה אינם לגמרי דומים לתיאורי השגיאות שמבצעים אנשים עם פגיעה בחוש המספר/בתפיסת כמות.

פרופ' נעמה פרידמן מצביעה על סוגים שונים של דיסלקסיה שנגרמים כתוצאה מפגיעות במרכיבים שונים של המודל לקריאת מלים בודדות.  האם ניתן להצביע על סוגים שונים של לקות בחשבון שנגרמים כתוצאה מפגיעות בכל אחד משלושת הייצוגים או בכל אחד ממסלולי התרגום ביניהם?  לא מצאתי עדיין ספרות מקצועית שמציגה נושא זה בצורה שיטתית.  בנוסף, הגבולות בין שלושת הייצוגים אינם חדים (באופן טבעי, כי הייצוגים עובדים ביחד).  למשל, הייצוג החזותי של מספר (למשל, 1948) בנוי על פי תחביר מסוים (8 היא ספרת היחידות, 4 היא ספרת העשרות וכו'), אבל ההיבט התחבירי קשור לייצוג הורבלי.  

פרידמן, נ וקולטהארט, מ.  (2017).  דיסלקסיות התפתחותיות.  שפה ומוח, 12, 1-34.  http://www.tau.ac.il/~naamafr/hebmain.html

פרידמן, נ., דותן, ד., ודהאן, ס. (2014)  הבנה לא מילולית של מספרים רב ספרתיים.  שפה ומוח, 11, 25-47.

http://www.language-brain.com/journal/docs/Dotan_Friedmann_Dehaene_LanguageBrain11_number_comprehension.pdf

Ardila, A., & Rosselli, M. (2002). Acalculia and dyscalculia. Neuropsychology review, 12(4), 179-231.

Dehaene, S., & Cohen, L. (1995). Towards an anatomical and functional model of number processing. Mathematical cognition, 1(1), 83-120.‏

Starrfelt, R., & Behrmann, M. (2011). Number reading in pure alexia—A review. Neuropsychologia, 49(9), 2283-2298.‏