קוגניציה חשבונית חלק ראשון: הקוד הכמותי

 

אני שמחה להציג את הראשונה מבין סדרה של מצגות משודרגות בנושא הקוגניציה החשבונית.

מטרת המצגות היא להניח תשתית לאבחון של ילדים עם קשיים בחשבון.

המצגות מיועדות ללימוד עצמי ולכן השתדלתי לכתוב אותן בצורה בהירה ככל האפשר.

המצגת הראשונה עוסקת בקוד הכמותי והיא נמצאת כאן.

הנושאים שידונו בה הם:

•        למה הקוגניציה החשבונית חשובה?

•        החוש השביעי: חוש הכמות Number Sense

•        כיצד אנו מייצגים כמויות במהלך ההתפתחות, ומה ההשלכות של זה על קשיים בחשבון?

•        מהו אפקט סנארק  SNARC והאם יש לחיות ציר מספרים מנטלי?

•        מה הקשר בין מספר, זמן ומרחב?

•        תפיסת כמות במבט אחד

·        מה קורה לילד שאינו מפנה תשומת לב ספונטנית לכמויות?

 

תיהנו!

סמדר

האם כדאי להשתמש באומדן על ציר המספרים כמדד לתפיסה ולייצוג מנטלי של כמויות

 

 בתחום הקריאה קיימים מבחנים עם נורמות וקיים ידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק אצל ילד מתקשה.  לא כך בחשבון.  בתחום זה חסרים מבחנים עם נורמות וגוף הידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק עדיין מתפתח.  בפוסט זה אעקוב אחר המהמורות בתהליך הפיתוח של מבחן/מטלת אומדן על ציר המספרים.  תהליך הפיתוח חושף בפנינו את הדרך בה ילדים בגילאים שונים ומבוגרים תופסים ומעבדים כמויות.

אחד הדברים שמקובל לבדוק אצל ילד שמתקשה בחשבון הוא מידת הדיוק בתפיסת כמות.  זו המידה שבה הילד יכול להבחין בהבדלים דקים בין כמויות (למשל בהבדל בין ערימה עם 11 חפצים לערימה עם 12 חפצים מאותו סוג).  תפיסת כמות עומדת ככל הנראה בבסיס תפקודים רבים בחשבון, ולכן חוקרים משערים שהיא קשורה לקשיים בחשבון אצל ילדים ומבוגרים.  

אחת הדרכים המקובלות לבדוק תפיסה וייצוג של כמויות אצל ילדים בגיל בי"ס יסודי ואילך ואצל מבוגרים היא באמצעות מטלת אומדן על ציר המספרים. במטלה זו הילד רואה ציר מספרים ריק כאשר רק שני קצותיו מסומנים.  בקצה השמאלי מופיעה הספרה 0 ובקצה הימני – 10 או 100 או 1000 וכדומה.  הילד מתבקש לאמוד את המיקום של מספר מסוים (למשל, 42) על הציר ולסמן מיקום זה בקו.  לאחר שהילד מבצע אומדנים רבים כאלה, הבוחן בודק את מידת הדיוק שלו באמצעות מדידת ההפרשים בין הסימונים של הילד על הצירים לבין המיקומים הנכונים של המספרים שאת מיקומם הילד אמד. 

במחקרים שהשתמשו במטלה זו נמצא שילדים צעירים מייצגים מספרים על ציר המספרים על פי סולם לוגריתמי.  בסולם כזה, המרחקים בין שני מספרים עוקבים הולכים וקטנים ככל שערכם של המספרים עולה.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 גדול מהמרחק בין 8 ל – 9.  ילד בגן או בכיתה א' עשוי למקם את המספר 9 במיקום של המספר 40 על ציר מספרים שבקצותיו 0 ו –  100.  המספר 9 "זז" ימינה אצל הילד מכיוון שהוא תופס את המרחקים בין המספרים 1-9 כגדולים מאד ביחס למרחקים בין המספרים האחרים.  לתפיסתו של הילד, המרחקים בין המספרים 1-9 תופסים  40% מהמקום על ציר מספרים של 0-100.

ככל שהילד גדל ונחשף לתרגילי חשבון וגם לעבודה עם ציר המספרים, ייצוג הכמויות שלו הופך להיות מדויק יותר והאומדנים שלו הופכים ליותר ויותר לינארים.  בסולם לינארי המרחקים בין שני מספרים עוקבים הם קבועים.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 זהה למרחק בין 8 ל – 9.  מידת פחותה של לינאריות של ציר המספרים של הילד ביחס למצופה לגילו יכולה להיות אחד הסמנים לקשיים בחשבון. 

מחקרים מצאו מתאם בין הביצוע במטלה של אומדן על ציר המספרים לבין ביצוע במטלות חשבון כמו מניה, חשבון בסיסי (ובמיוחד חיסור) ואלגברה.  ילדים עם לקות למידה בחשבון מתקשים באומדן על ציר המספרים.  יכולת אומדן על ציר המספרים קשורה ליכולת עתידית ללמוד תרגילי חיבור.  אימון באומדן גורם לשיפור במבחן חיבור.   

כל זה נראה היה די מבטיח עד שלאחרונה החלו חוקרים מסוימים לומר שמטלת האומדן על ציר המספרים אינה בודקת את מה שהיא אמורה לבדוק.  חוקרים אלה הבחינו שילדים ומבוגרים מבצעים את מטלת האומדן באמצעות אסטרטגיות.  למשל, הם מחלקים את ציר המספרים לחצאים או לרבעים (בצורה מנטלית; אסור לסמן נקודות אלה על הציר במהלך ביצוע המטלה).  לאחר מכן הם משתמשים בנקודות ייחוס אלה כדי למקם את המספר שאת מיקומו הם אומדים.  למשל, כאשר הילד מתבקש למקם את המספר 42 על ציר של 0-100, הוא מאתר את נקודת האמצע, בה יהיה המספר 50, ומכיוון ש - 42 קטן מ – 50, הילד זז שמאלה מ – 50 כדי לאמוד את מיקומו.  כך פעולת האומדן מושפעת מידע על המבנה העשרוני של המספר ומיכולת ליצור אסטרטגיה.  לכן אין להתפלא על כך שקיים מתאם בינה לבין מטלות שבודקות חשבון.  בגלל שהיא נשענת על ידע על המבנה העשרוני של המספר, חוקרים אלה טוענים שמטלת האומדן על ציר המספרים לא בודקת את תפיסת הכמות באופן "נקי". 

כדי להתגבר על בעיה זו המציאו החוקרים גירסה חדשה של המטלה:  ציר מספרים בלתי תחום.  בציר כזה, מסומנת הספרה 0 בקצה השמאלי של הציר, בעוד הקצה הימני שלו נשאר ריק.  משמאל לספרה 0 וקרוב מאד אליה מסומן מקטע שיש לו ערך מסוים, למשל 1 או 4 או 10 או אפילו 100.  הילד או המבוגר משתמש במקטע זה כדי לאמוד את מיקום המספר אותו הוא מתבקש לאמוד.  מטלה זו אמורה לבדוק את תפיסת הכמות באופן "נקי" יותר מכיוון שלא ניתן להיאחז בשתי קצוות הציר כדי לחלק אותו לחצאים ולרבעים. 

בתמונה למטה ניתן לראות שני צירי מספרים תחומים (העליונים) ושני צירי מספרים בלתי תחומים (התחתונים). 

מטלה של ציר מספרים לא תחום מושפעת ככל הנראה פחות מהגיל וההתפתחות ולכן עשויה להעיד על איכות תפיסת הכמות המולדת.  מצד שני היא גם פחות קשורה לביצועים בחשבון אצל ילדים בבי"ס יסודי ועד כיתה ז'. האם משמעות הדבר היא שתפיסת כמות אינה משפיעה על ביצועים בחשבון?  בכל מקרה, אם מטלה זו אינה קשורה לביצועים בחשבון, קשה להצדיק את השימוש בה כדי לאתר את המקור לקשיים אצל ילדים שמתקשים בחשבון, אלא אם כן יוכח מחקרית שילדים שמתקשים בחשבון מתקשים יותר גם בביצוע במטלה של ציר מספרים לא תחום.  למיטב ידיעתי עדיין לא פורסם מחקר כזה בילדים.  van Wijk  מצא בתזה לתואר שני שלא פורסמה שאין הבדל ביכולת האומדן על ציר מספרים לא תחום בין ילדים עם לקות למידה בחשבון לבין ילדים ללא לקות למידה בחשבון.  גם בין מבוגרים עם ובלי דיסקלקוליה לא נמצאו הבדלים בביצוע אומדן על ציר מספרים בלתי תחום  (van der Weijden et al., 2018). 

אם כך, יש למצוא מטלת אומדן על ציר מספרים שבה לא ניתן להשתמש באסטרטגיה מצד אחד, ושיש מתאם בינה לבין ביצועים במבחני חשבון מצד שני. 

 

van der Weijden, F.A., Kamphorst, E., Willemsen, R.H., Kroesbergen, E.H., & van Hoogmoed, A.H. (2018). Strategy use on bounded and unbounded number lines in typically developing adults and adults with dyscalculia: An eye-tracking study. Journal of Numerical Cognition, 4, 337-359.

Jung, S., Roesch, S., Klein, E., Dackermann, T., Heller, J., & Moeller, K. (2020). The strategy matters: Bounded and unbounded number line estimation in secondary school children. Cognitive Development, 53, 100839.

Link, T., Nuerk, H. C., & Moeller, K. (2014). On the relation between the mental number line and arithmetic competencies. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 67(8), 1597-1613.

ילדים שהתפתחותם תקינה שוגים אחרת

Rotem, A., & Henik, A. (2015). Development of product relatedness and distance effects in typical achievers and in children with mathematics learning disabilities. Journal of learning disabilities, 48(6), 577-592.

האם למידה של לוח הכפל מפתחת את חוש המספר? ומהם ההבדלים בשגיאות שעושים ילדים שהתפתחותם תקינה וילדים דיסקלקולים כשהם לומדים את לוח הכפל?

אנחנו יודעים שמודעות פונולוגית עוזרת לרכוש את יסודות הקריאה.  אבל הקשר הוא דו כיווני: רכישת הקריאה משפרת את המודעות הפונולוגית.  האם זה כך גם בחשבון?  חוש מספר (number sense) תקין מאפשר לרכוש חשבון בסיסי באופן תקין.  האם רכישת החשבון משפרת את חוש המספר?

את זה ניסו לבדוק החוקרים הישראלים אבישי הניק ואביטל רותם. 

חוש המספר הוא ההבנה שלסט של פריטים יש כמות, ושמניפולציה על הסט (הוספה או החסרת פריט) משפיעה על הכמותיות שלו.  חוש המספר מאפשר לנו, בין השאר, לקשור בין ספרה לכמות, ולהבחין 

בהבדלים בין כמויות. 

רותם והניק בחנו כיצד מתפתח הידע על עובדות כפל אצל ילדים שהתפתחותם תקינה ואצל ילדים עם לקות למידה שבאה לידי ביטוי בחשבון (שנקרא לה בפוסט זה MLD).  הם בחנו גם כיצד התפתחות השליטה בלוח הכפל קשורה לחוש המספר.  חוש המספר יכול לבוא לידי ביטוי בכפל בשני היבטים:  

א.      רגישות לקשרים בין מספרים, ולגבי לוח הכפל - רגישות לקשר בין מכפלות של אותם אופרנדים. ילד שלמד מכפלות של אופרנד (מספר) מסוים, ויש לו חוש מספר תקין, ישים לב לקשר בין המכפלות (למשל, לקשר בין 6,12,18,24,30 וכו').  בגלל שילדים שמתפקדים בחשבון באופן תקין רגישים לכפולות האופרנדים, מרבית השגיאות שהם יעשו בכפל תהיינה כפולות של אותם אופרנדים.  למשל, יש סיכוי גבוה יותר שילד בעל חוש מספר תקין ישגה כך: 28=6X4  ולא כך:  25=6X4.  זאת מפני ש – 28 הוא אחת הכפולות של 4, אבל 25 אינו כפולה של 4 וגם לא של 6.

 

ב.      רגישות לגודל פתרון התרגיל.  ילד בעל חוש מספר תקין חש מתי פתרון תרגיל הוא סביר והגיוני ומתי הוא לא.  כשילד זה שוגה, השגיאה שלו קרובה מבחינה כמותית לפתרון הנכון.  למשל, יש סיכוי גבוה יותר שילד בעל חוש מספר תקין ישגה כך: 28=6X4 ולא כך: 12=6X4.  זאת מפני ש – 28 קרוב יותר לפתרון הנכון של התרגיל מאשר 12. 

   ילדים מתחילים ללמוד כפל בכיתה ב'.  בעזרת תירגול ובמשך הזמן הם יוצרים במאגר הידע שלהם רשת אסוציאטיבית של תרגילים ופתרונות ואז שולפים את הפתרונות למרבית התרגילים מהזיכרון.  בכיתה ו' ילדים שהתפתחותם תקינה מגיעים לרמת ביצוע של מבוגרים בתרגילי כפל. 

ילדים מתחילים ללמוד את לוח הכפל מתרגילים קלים (תרגילים בהם בהם שני האופרנדים קטנים מ – 5, תרגילי תאומים – בהם שני האופרנדים זהים כמו 3X3, וכפולות של 5).  לאחר מכן הם לומדים תרגילים בינוניים (תרגילים בהם אופרנד אחד קטן מ – 5 והשני גדול מ –   5( ולבסוף הם לומדים לפתור תרגילים קשים (תרגילים בהם שני אופרנדים גדולים מ – 5 ).  ילדים פותרים תרגילי כפל קלים מהר יותר מתרגילי כפל קשים.  פער זה במהירות הפתרון הולך ויורד עם הגיל, אך הוא עדיין קיים אצל מבוגרים.  כלומר, גם מבוגרים פותרים תרגילי כפל קשים (בהם שני האופרנדים גדולים מ – 5) לאט יותר מאשר תרגילי כפל קלים. 

ילדים עם MLD שוגים יותר בתרגילים חד ספרתיים (בכל ארבע פעולות החשבון) מאשר ילדים שהתפתחותם תקינה.  סוגי השגיאות שעושים ילדים עם MLD שונים מסוגי השגיאות שעושים ילדים עם התפתחות תקינה ורומזים על כך שחוש המספר שלהם לקוי, במיוחד בהיבט של רגישות לגודל פתרון התרגיל.  כך, אם ילד  עם MLD נשאל "מהו הפתרון הקרוב ביותר לתרגיל  4+9 :  12  או 19 ?"  הוא טועה יותר מאשר ילד שהתפתחותו תקינה.  כאשר ילדים בכיתה ח' עם MLD מתבקשים לפתור תרגילי כפל, הטעויות שהם עושים רחוקות יותר מהפתרונות הנכונים מאשר הטעויות שעושים ילדים בכיתה ח' שהתפתחותם תקינה.  בניגוד לכך, אין הבדל באחוז השגיאות שעושים ילדים בכיתה ח' עם MLD וילדים שהתפתחותם תקינה כאשר הפתרון השגוי הוא מכפלה של אחד האופרנדים בתרגיל (28=6X4).   

לרוב הילדים עם MLD יש לקויות נוספות, בעיקר בקריאה ובקשב.  ילדים שיש להם MLD ולקויות נוספות שוגים יותר במטלות חשבון שונות מאשר ילדים עם MLD בלבד.  במודל של החוקר DEHAENE, עובדות כפל מיוצגות בזיכרון באמצעות קוד ורבלי (כמו משפט, "ארבע כפול שש זה עשרים וארבע").  לכן קושי בעובדות כפל עלול לנבוע מלקות ורבלית או פונולוגית.  לקות ורבלית או פונולוגית תפגע כמובן גם בקריאה.

במחקר הזה השוו הניק ורותם בין סטודנטים, ילדים שהתפתחותם תקינה שלמדו בכיתות ב',ד' ו – ו' וילדים עם MLD שלמדו בכיתות ו' ו – ח'.  כל הילדים שהתפתחותם תקינה קיבלו ציון באחוזון מעל 20 במבחני הישג ארציים במתמטיקה.  אלה היו ילדים שלא אובחנו כלקויי למידה ולא קיבלו שירותי חינוך מיוחד.  לקבוצת MLD בחרו הניק ורותם ילדים שהקושי שלהם מתמקד בחשבון, ושאין להם לקויות נוספות בקריאה ובקשב.  ההישגים של ילדי ה – MLD במבחן במתמטיקה היו באחוזון 20 ומטה.  היה להם עיכוב של שנתיים במתמטיקה.  כלומר אחוז התשובות הנכונות שלהם במבחן ארצי במתמטיקה שיועד לתלמידים שלומדים בכיתה נמוכה יותר בשנתיים היה 60% ומטה.  כל התלמידים קיבלו ציון באחוזון 25 ומעלה במבחן מטריצות רייבן.  החוקרים וידאו באמצעות בדיקת הקריאה שילדים וסטודנים עם לקויות בקריאה לא נכללים במחקר.  כמו כן לא נכללו ילדים וסטודנטים עם הפרעת קשב וריכוז.  

החוקרים הציגו לילדים ולסטודנטים תרגילי כפל.  משימתם היתה להחליט במהירות האפשרית אם תרגיל הכפל המוצג הוא נכון או שגוי. 

 הניק ורותם מצאו שהרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מתחילה להופיע בכיתה ב' אצל תלמידים עם הישגים תקינים ומתחילה להופיע בכיתה ח' אצל תלמידים עם MLD.  כלומר, החל מכיתה ב', תלמידים שהתפתחותם תקינה טעו יותר כאשר הפתרון היה כפולה של אחד האופרנדים (למשל, 28=6X4) מאשר כשהוא לא היה כפולה כזו (למשל, 25=6X4).  החל מכיתה ב', תלמידים שהתפתחותם תקינה טעו יותר כאשר הפתרון השגוי שהוצע היה קרוב לפתרון האמיתי מאשר כשהפתרון השגוי שהוצע היה רחוק מהפתרון האמיתי.  אצל תלמידים עם MLD דפוס טעויות זה התפתח רק בכיתה ח'.

הרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מתפתחת אצל ילדים שהתפתחותם תקינה בהדרגה.  בתחילה מתפתחת רגישות זו בהקשר לתרגילים קלים, ובהמשך היא מתפתחת בהקשר לתרגילים קשים.   רק מבוגרים מראים רגישות מלאה הן לגודל פתרון התרגיל והן לקשר בין המכפלות בתרגילי כפל חד ספרתיים גדולים, בהם שני האופרנדים גדולים מ – 5. 

 כשמתחילים ללמוד את לוח הכפל, שגיאות של מכפלות קרובות נעשות בדרך כלל רק בתרגילים קלים.  ככל שהמיומנות בלוח הכפל מתפתחת, שגיאות אלה (פתרון שהוא מכפלה קרובה של אחד האופרנדים) הופכות להיות נפוצות יותר גם בתרגילי כפל חד ספרתיים גדולים. שגיאות אלה מעידות על רגישות הולכת וגוברת למכפלות של האופרנדים ולגודל פתרון התרגיל.  

 התפתחות הרגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות מעידה על כך שחוש המספר מתפתח בעקבות למידת לוח הכפל אצל תלמידים שהישגיהם תקינים.   

גם תלמידים עם MLD מפתחים רגישות לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות, אך רגישות זו מתפתחת לאט יותר ולא מקיפה את כל התרגילים.  היא באה לידי ביטוי בעיקר בתרגילים קטנים ובינוניים.  מידת הדיוק של ילדים בכיתה ח' עם MLD בביצוע משימת המחקר היתה דומה לזו של ילדים שהתפתחותם תקינה הלומדים בכיתה ד'.  כך, רגישות של ילדים עם MLD לגודל פתרון התרגיל ולקשר בין המכפלות נצפתה בעיקר בתרגילים קטנים, בתרגילי תאומים ובתרגילי חמש, ופחות בתרגילים בינוניים וגדולים. 

משמעות הדבר היא שרשת תרגילי הכפל המאוחסנת במאגר הידע של תלמידים בכיתה ח' עם MLD אינה שלמה.  הרשת כוללת בעיקר תרגילים קטנים, תרגילי חמש ותרגילי תאומים.  תרגילים בינוניים וגדולים עדיין לא מיוצגים בה בצורה טובה.  ילדים בכיתה ח' עם MLD היו רגישים יותר לקשר בין המכפלות מאשר למרחק בין פתרון התרגיל המוצע לפתרון הנכון.  כלומר קשה להם מאד לשפוט אם גודל פתרון התרגיל המוצע הוא הגיוני. 

החוקרים מציעים שילדים עם MLD צריכים לקבל הוראה שמדגישה פיתוח של היבטים של חוש המספר:  יכולת אומדן של פתרונות של תרגילים והבנה של יחסים בין מספרים.  בעוד שילדים שהתפתחותם תקינה לומדים את ההיבטים הללו באופן ספונטני, ילדים עם MLD זקוקים להנחיה ישירה ומפורשת שלהם. 

תפיסת כמות, דיסקלקוליה ותפיסת זמן

Cappelletti, M., Freeman, E. D., & Butterworth, B. L. (2011). Time processing in dyscalculia. Frontiers in psychology, 2.‏

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3243078/

כיצד אנו שופטים את משך הזמן של אירועים (בלי להביט בשעון)?  נניח של אירועים שאורכים שניות ספורות?  מן הסתם אנחנו מבצעים ספירה פנימית של מספר ה"שניות" שאורך האירוע.  משמעות הדבר היא, שאנו משתמשים במספרים כדי לאמוד זמן. 

הדבר בולט גם כאשר אנו לומדים לקרוא שעון (במיוחד אנלוגי).  כדי לקרוא שעון אנו צריכים לשלוט במספר מושגים מתמטים ("ארבע ורבע", "חמש וחצי", "רבע לשש" וכו') וכן להכיר את "מבנה הזמן" (יש ששים שניות בדקה, ששים דקות בשעה, 24 שעות ביממה), הדומה מבחינות מסוימות למבנה העשרוני של המספר. 

מחקר מעניין זה בדק היבטים של תופעות אלה.  במחקר השתתפו 12 מבוגרים שהוגדרו כדיסקלקולים, ו – 22 מבוגרים לא דיסקלקולים.

נדמה לי, שהחלוקה של המשתתפים לקבוצות לא היתה אופטימלית.  הדבר גורם לדעתי להחלשת הממצאים.  

כיצד הוגדרו המשתתפים כדיסקלקולים?  הם היו צריכים לעמוד בארבעה תנאים:

·         לקבל ציון נמוך ביותר מסטית תקן מהממוצע במבחן

DYSCALCULIA SCREENER

(עוד על המבחן בפוסט הזה מה – 9.7.14 ):

  http://beyondiq.blogspot.co.il/2014/07/dyscalculia-screener-brian-butterworth.html

בתנאי זה הם אכן עמדו. 

·         להיות בעלי משכל ממוצע לפחות.  גם בתנאי זה הם עמדו

·         להיות בעלי תפקוד לקוי במבחן ההישגים

.GAD, GRADED DIFFICULTY ARITHMETIC TASK   עיון בנתונים מראה לי שרבים מהם, שמונה מתוך 12 המשתתפים שהוגדרו כדיסקלקולים, קיבלו ציון ממוצע נמוך במבחן זה.  ציון ממוצע נמוך אינו ציון נמוך במובהק מהממוצע.   הציון הממוצע של כל 12 המשתתפים במבחן זה היה ממוצע נמוך.

·         להיות בעלי תפקוד לקוי בתת מבחן חשבון ב – WAIS-R.   עיון בנתונים מראה לי שמתוך 12 המשתתפים, ארבעה משתתפים קיבלו בתת מבחן זה ציון שבין 8 ל – 9, ולמשתתף נוסף היה ציון 7.  מכיוון שתת המבחנים מתפלגים עם ממוצע 10 וסטית תקן 3, חמישה משתתפים אלה אינם עומדים למיטב הבנתי בקריטריון של תפקוד לקוי בתת מבחן חשבון.

במאמר מצוין, ש – 22 המשתתפים בקבוצת הביקורת לא נבדקו ב – DYSCALCULIA SCREENER.  אך לא מצוינים מאפייני קבוצת הביקורת בשלושת הפרמטרים האחרים. 

תחת מגבלות אלה של שיוך המשתתפים לקבוצת הדיסקלקולים ולקבוצת הביקורת, אתייחס לממצאים בזהירות.  השאלות שנשאלו במחקר זה הן מעניינות כשלעצמן.

ראשית,  שאלו את המשתתפים שאלות על מצבי יומיום שדורשים הערכת זמן או ידע על זמן:

דוגמה לשאלות שדורשות הערכת זמן:  כמה זמן נדרש להכין כוס תה?  (מדובר באנגלים...)  כמה זמן נדרש כדי לטוס מלונדון לניו יורק (שאלה שמושפעת מאד מידע כללי).

דוגמה לשאלות שדורשות חישוב מדויק:  אם עכשיו השעה היא 10:35 אחר הצהריים, מה תהיה השעה בעוד שעתיים וחמישים דקות?

דוגמה לשאלות שדורשות ידע על עובדות זמן מדויקות: כמה שעות יש ביממה?

דוגמה לשאלות שבדקו יכולת להשוואת זמן: מה מאוחר יותר:  11:45 או 15:30?

לא היה הבדל בין דיסקלקולים לבין קבוצת הביקורת בשאלות שדורשות הערכת זמן, השוואת זמן וידע על עובדות מדויקות.  דיסקלקולים ביצעו פחות טוב באופן מובהק מקבוצת הביקורת במשימת חישוב מדויק של זמן.

לאחר שלב זה, בדקו החוקרים מהי ההשפעה של גירויים מספריים על תפיסת משך זמן.  לצורך זה ביצעו המשתתפים שתי משימות, שאתייחס כאן רק לאחת מהן:

המשתתפים ראו את הספרה 5 מוקרנת על מסך מחשב למשך זמן מסויים.  לאחר מכן הוקרנה ספרה שניה למשך זמן מסויים.  הספרה השניה היתה יכולה להיות 1 או 9.  המשתתפים היו צריכים להחליט האם הספרה השניה הוקרנה למשך זמן רב יותר או פחות מהספרה הראשונה.

אנחנו כבר יודעים, שאצל ילדים שאינם דיסקלקולים קיים מעין אפקט סטרופ מספרי.  משימת הסטרופ המספרי דורשת להחליט במהירות האפשרית איזו ספרה מבין שתי ספרות  (למשל, 3  5) גדולה יותר פיסית.   

כאשר יש התאמה בין ערך הספרה לגודלה הפיסי, למשל במצב 3  5,  הביצוע אצל ילדים שהתפתחותם תקינה הוא מהיר יותר מאשר כאשר אין התאמה בין ערך הספרה לבין גודלה הפיסי (למשל, במצב 3  5).  אצל ילדים דיסקלקולים אפקט זה אינו קיים.  הסיבה לכך היא, אולי, שילדים דיסקלקולים אינם קושרים בין הספרות לערך הכמותי שלהן.

אפקט הסטרופ המספרי מצביע על כך שאנחנו קושרים בין ערך כמותי של מספר לבין גודל פיסי.  זה יכול לרמוז על כך, שיתכן שאנו קושרים גם בין ערך כמותי לבין משך זמן.

זה מוביל אותנו לשער שמשתתפים מקבוצת הביקורת יחשבו שהספרה 1 מוקרנת למשך זמן קצר יותר ממשך הזמן בו הוקרנה הספרה 5 (בלי קשר למצב האמיתי).  זאת מכיוון שערכה הנמוך של הספרה 1 ישפיע על תפיסת משך הזמן הסובייקטיבי. 

 נוכל גם לשער, שמשתתפים מקבוצת הביקורת יחשבו שהספרה 9 מוקרנת למשך זמן ארוך יותר ממשך הזמן בו הוקרנה הספרה 5 (בלי קשר למצב האמיתי).  זאת מכיוון שערכה הגבוה של הספרה 9 (ביחס לספרה 5) ישפיע על תפיסת משך הזמן הסובייקטיבי.   

נוכל גם לשער, שאצל משתתפים דיסקלקולים אפקט זה לא יהיה קיים.  כלומר הם לא יתפסו את הספרה 1 כמוקרנת למשך זמן קצר יותר לעומת הספרה 5, ולא יתפסו את הספרה 9 כמוקרנת למשך זמן ארוך יותר מהספרה 5.  זאת מכיוון, שדיסקלקולים אינם קושרים בין ספרות לערך הכמותי שלהן.  כאשר ספרות לא מקושרות לערכן הכמותי, לא ניתן לבצע את הצעד הבא ולקשר בין הערך הכמותי למשך הזמן הנתפס.

ואכן, שיפוט משך הזמן של המשתתפים הדיסקלקולים לא הושפע מערכם הכמותי של המספרים.  שיפוט משך הזמן של המשתתפים מקבוצת הביקורת כן הושפעו מערכם הכמותי של המספרים.  משתתפי קבוצת הביקורת תפסו את הספרה 9 כמוקרנת למשך זמן ארוך יותר מהספרה 5.  הם תפסו גם את הספרה 1 כמוקרנת למשך זמן ארוך יותר מהספרה 5, אך כמוקרנת למשך זמן קצר יותר מהספרה 9.

משמעות הממצאים יכולה להיות, שאנו קושרים בין ערך כמותי לבין משך זמן סובייקטיבי.  אנשים עם דיסקלקוליה כנראה מתקשים לבצע קישור זה.  אולם נדרשים לדעתי מחקרים נוספים עם מספר נבדקים רב יותר וחלוקה קפדנית יותר לקבוצות כדי לאשש ממצאים אלה.

Cognitive predictors at kindergarten of first grade math achievement

Passolunghi, Maria Chiara, and Silvia Lanfranchi. "Domain‐specific and domain‐general precursors of mathematical achievement: A longitudinal study from kindergarten to first grade." British Journal of Educational Psychology82.1 (2012): 42-63.‏

A wide scale research looking into the links between different cognitive abilities assessed at kindergarten and math achievement at the end of first grade.  Seventy children participated in this study.

 At the beginning of the last year of kindergarten (children aged 5.2 years) the children were  administered a battery of cognitive tests (Vocabulary and Block Design from the Wechsler , and tests assessing working memory, verbal and visuo-spatial short-term memory, phonological ability, verbal counting ability, and processing speed).   

At the end of the last year of kindergarten (children aged 5.8 years)    numerical competence was assessed (by tests assessing concepts of comparison, classification, one-to-one correspondence, seriation, the use of number words, counting and general understanding of numbers).

At the end of the first year of primary school (children aged 6.6 years)    mathematical achievement was assessed (by tests assessing spatio-temporal analysis, seriation, and classification (i.e., the ability to order spatio-temporal sequence and to order objects from smallest to largest), acquisition of the concept of natural numbers (i.e., to be able to position numbers on the ‘number line’), understanding of basic arithmetic operations (+, −), and the capacity to locate objects in space).

The paper adds some background on the assessed cognitive abilities:

Phonological awareness and mathematics  - one study found a significant relationship between phonological awareness (rhyme detection and initial consonant detection) assessed at 4 and 5 years of age and mathematical competencies as judged by teachers at the beginning of first grade.  Another study found that phonological awareness scores (rhyme tasks) assessed at 5 years of age predicted reading as well as arithmetic abilities 1 year later. Yet another study reported that phonological processing (measured by rapid digit naming, first sound matching, and last sound matching) was a unique determinant of fact fluency but did not predict other aspects of math performance (e.g., story problems).  There are also studies showing that phonological awareness does not predict mathematics ability and is only a predictor of reading ability.

Counting ability  - A verbal counting task (e.g., repeating as fast and accurately as possible a sequence of numbers) is a mixed measure that requires numerical knowledge of number sequence as well as speed of articulation and, therefore, the activity of phonological loop.  Counting is linked to phonological abilities, since children learn to count at 2 years of age without employing number words to describe the quantities.

 Processing speed - A number of studies showed that children with poor mathematical abilities have poor performance in processing speed.    Processing speed was found to be the best predictor of arithmetic competence among 7-year olds.  One study found that  fourth grade children with arithmetic learning disability suffered from a deficit in the speed of activating both numerical and non-numerical information from long-term memory.  Speed of retrieval of information from long-term memory  is a correlate of arithmetic skills in second to fifth graders.    In a group of third grade children, processing speed was a significant predictor of arithmetic ability when assessed by visual matching and retrieval fluency tasks.

How were the cognitive abilities assessed in this research?

 Processing speed was assessed with the WJ III visual matching test.   The child was asked to locate and circle two identical symbols that appear in a row of six symbols.  In speed pattern comparison task  60 pairs of patterns were presented, and the child had to decide as quickly as possible whether the two

patterns of each pair were identical.

Verbal Memory span was assessed with a forward digit and word recall tasks.  Visuo-spatial  memory span was assessed with a task in which   the child was shown a path taken by a frog on a 3 × 3 or 4 × 4 chessboard.    The child had to   reproduce the experimenter’s moves.  Another task was the Corsi block task that requires children to watch the experimenter pointing to a series of blocks that are arranged randomly on a board, and then to point to the blocks in the same order.

Working memory was assessed with a list of two to five words of which  the child had to  remember the first word and to concurrently perform a dual task.   Digit backwards recall task was also administered.

For the word fluency task  the child was asked to generate   as many words as possible in 1 min beginning with a particular letter.  For the semantic fluency task the child was   given a minute to name as many items as possible from particular semantic categories: animals, objects, and occupations.

Phonological awareness was assessed by word and pseudo-word repetition, recognition and repetition of the first or last sound of the word or non-word said aloud by the experimenter   in words and pseudowords, phonological analysis and synthesis of words.

For the verbal counting task, the child was asked to count as fast as possible from 1 to 10 three times.

Counting speed was assessed with   a task requiring the child to count objects as fast as possible.

Results:

Numerical competence as measures at the end of kindergarten was significantly correlated s 0.45 with processing speed, 0.42 with working memory , 0.42 with phonological skills and 0.46 with verbal counting and counting speed.

Mathematical achievement as measured at the end of first grade was significantly correlated 0.35 with vocabulary, 0.34 with processing speed, 0.32 with verbal counting and counting speed, and 0.42 with numerical competence as measured at the end of kindergarten. 

Path analysis model showed that the strongest predictors of numerical competence at the end of kindergarten are processing speed and working memory.  The strongest predictors of mathematical achievement  at the end of first grade are numerical competence at the end of kindergarten, processing speed and vocabulary.

   Processing speed  may facilitate the execution of several tasks, such as counting speed, as well as recall of partial results of problem solutions, preventing the decay of the information that must be processed. Phonological awareness and counting skills were highly correlated with processing speed in this research.  This might mean that the faster a child can process stimuli, the faster he/she can access  phonological information about numbers and counting.