חציית קו פיסי וחציית ציר מספרים מנטלי – מטלות שמבחינות בין סטודנטים עם דיסקלקוליה לסטודנטים שהתפתחותם תקינה

 

  

Ashkenazi, S., & Henik, A. (2010). A disassociation between physical and mental number bisection in developmental dyscalculia. Neuropsychologia, 48(10), 2861-2868.

 

מהר ובלי לחשב: מהו המספר שנמצא באמצע בין המספרים 34 ו – 58? 

 

 

 תרשים 1: המיספרות המוח

אם השבתם ארבעים וארבע או ארבעים וחמש, השבתם כמו אנשים שתפקודם החשבוני תקין, למרות שהתשובה הנכונה היא ארבעים ושש. המטלה שזה עתה ביצעתם נקראת "חציית ציר מספרים מנטלי".  במטלה זו אנשים מתבקשים למצוא במהירות האפשרית את המספר שנמצא באמצע הטווח שבין שני מספרים המוצגים בפניהם.  אנשים בעלי תפקוד תקין בחשבון מציגים במטלה זו הטיה קלה לצד שמאל שמכונה פסאודונגלקט pseudoneglect.  הטיה זו מתבטאת בכך שהמספר הנתפס כאמצעי נוטה להיות לשמאלו של המספר האמצעי האמיתי על ציר המספרים, כלומר המספר האמצעי הנתפס קטן מעט מהמספר האמצעי האמיתי. 

neglect היא תופעה שבה לאחר פגיעה באחת ההמיספרות במוח (ראו תרשים 1), נוצר חסר בקשב ובעירנות לצד אחד של שדה הראיה.  אדם שמתמודד עם נגלקט אינו מסוגל לעבד ולתפוס גירויים בצד אחד של הגוף או של הסביבה. הנגלקט מופיע בדרך כלל בצד ההפוך לצד שבו נגרמה הפגיעה המוחית (למשל, אם היא נגרמה בצד ימין, האדם מתקשה לעבד גירויים בצד שמאל של הגוף). 

תופעת ההטיה הקלה שמאלה במטלת חציית ציר מספרים מנטלי מתרחשת אצל אנשים שאין להם פגיעה מוחית ושמתפקדים בחשבון באופן תקין.  לכן היא אינה ביטוי של נגלקט אלא של פסאודונגלקט.  מקור התופעה הוא ככל הנראה באסימטריה קלה בקשב בין שתי ההמיספרות שקיימת אצל אנשים בריאים.  ההמיספרה הימנית דומיננטית יותר מהשמאלית בתפקודי קשב, ומכיוון שההמיספרה הימנית קשורה לשדה הראיה השמאלי, קיימת הטיה קלה של הקשב לשדה הראיה השמאלי, שגורמת לכך שאמצע ציר המספרים המנטלי ייתפס מעט שמאלה ממיקומו הנכון. הטיה קלה זו שמאלה אצל אנשים שתפקודם החשבוני תקין קיימת לא רק בחציה של ציר מספרים מנטלי אלא גם במטלה של חציית קו פיסי (לא ציר מספרים אלא קו פשוט) באמצע. 

מה קורה אצל סטודנטים עם דיסקלקוליה?  האם גם הם מגלים הטיה קלה שמאלה במטלת חציית ציר מספרים מנטלי ובמטלה של חציית קו פיסי? שאלה זו נבדקה במחקר זה, בו השתתפו 24 סטודנטים ישראלים, 12 מהם עם דיסקלקוליה.  למשתתפים עם הדיסקלקוליה היו קריאה ויכולות קשב וריכוז תקינות ומשכל תקין (כפי שנבדק באמצעות מטריצות רייבן).

מסתבר, שהסטודנטים עם הדיסקלקוליה ביצעו בשתי המטלות באופן שונה מהסטודנטים ללא דיסקלקוליה.  במטלת חציית ציר מספרים מנטלי הסטודנטים עם דיסקלקוליה הציגו יותר הטיה שמאלה מאשר הסטודנטים שתפקודם בחשבון תקין.  לעומת זאת במטלת חציה של קו פיסי, הסטודנטים עם דיסקלקוליה הציגו פחות הטיה שמאלה מאשר הסטודנטים שתפקודם בחשבון תקין. 

מהן הסיבות לתפקוד השונה של הסטודנטים עם דיסקלקוליה?

החוקרים שביצעו מחקר זה, ד"ר שרית אשכנזי ופרופ' אבישי הניק, טוענים שהסיבה להבדלים בביצוע במטלת חציית ציר מספרים מנטלי היא שהיצוג של מספרים על ציר המספרים המנטלי אצל אנשים עם דיסקלקוליה נוטה להיות יותר לוגריתמי מאשר הייצוג של מספרים אצל אנשים ללא דיסקלקוליה.  

כפי שניתן לראות בתרשים 2, יצוג לוגריתמי מתבטא בכך שהמרחק בין מספרים קטנים עוקבים (למשל, 2 ו – 3) גדול מהמרחק בין שני מספרים גדולים עוקבים (למשל, 12 ו – 13).  זאת לעומת ייצוג לינארי, שבו המרחק בין שני מספרים עוקבים קבוע בלי קשר לגודלם.

תרשים 2: סולם לינארי לעומת סולם לוגריתמי

מבט בתרשים 2 מראה שכאשר יש למצוא במהירות וללא חישוב את האמצע בין 4 ל – 16, נקודת האמצע בסולם לינארי היא 10 ואילו בסולם לוגריתמי היא 8.  כך, ככל שהיצוג המנטלי של ציר המספרים הוא יותר לוגריתמי, תיתפס נקודת האמצע כנמצאת יותר שמאלה מנקודת האמצע האמיתית, או כקטנה יותר בערכה המספרי מנקודת האמצע האמיתית.

היצוג המנטלי של מספרים אצל ילדים נוטה להיות לוגריתמי.  עם ההתפתחות והלמידה, היצוג הופך להיות ליותר ויותר לינארי.  מחקר זה מוסיף עוד עדות לכך שהיצוג המנטלי של מספרים אצל סטודנטים עם דיסקלקוליה הוא עדיין יותר לוגריתמי מאשר אצל סטודנטים ללא דיסקלקוליה.  ככל שהיצוג לינארי יותר, הביצוע בהיבטים שונים של חשבון הוא טוב יותר. 

כך, מטלת חציית ציר מספרים מנטלי יכולה להבחין בין סטודנטים עם ובלי דיסקלקוליה.  גם במטלת חציית קו פיסי מצאו אשכנזי והניק הבדלים בין סטודנטים עם ובלי דיסקלקוליה.  בעוד שסטודנטים ללא דיסקלקוליה הראו את תופעת הפסאודונגלקט וחצו קו פיסי במיקום שהוא מעט שמאלה מהמיקום הנכון, סטודנטים עם דיסקלקוליה לא הראו הטיה עקבית שמאלה בחציית קו פיסי.  מה ההסבר להבדלים אלה?

ראינו שההטיה שמאלה בחציה של קו פיסי אצל אנשים שתפקודם תקין נובעת מאסימטריה קשבית בין ההמיספרות.  אשכנזי והניק מציעים שלדיסקלקולים יש ככל הנראה פגיעה קטנה בקשב המרחבי, ופגיעה זו גורמת לכך שתהיה להם פחות הטיה שמאלה בחציה של קו פיסי.  נזכיר, שלמשתתפים במחקר זה לא היו קשיים בקשב.  כך שההטיה המופחתת שמאלה אינה קשורה לקומורבידיות של דיסקלקוליה עם קשיים בקשב וריכוז.  אשכנזי והניק מציעים שאצל הסטודנטים עם דיסקלקוליה יש פחות אסימטריה המיספרית קשבית בהשוואה לסטודנטים ללא דיסקלקוליה.  פחות אסימטריה קשבית גורמת להפחתה בהטיה שמאלה בחצית קו פיסי. 

יתכן שירידה באסימטריה קשבית אצל דיסקלקולים נגרמת מלקות או קושי בתפקוד של אזור במוח שנקרא IPS  - Intraparietal sulcus – במיוחד בצד הימני של המוח (ראה תרשים 3).

 

תרשים 3: IPS

יש עדויות לכך שה – IPS פגוע או מתפקד לא טוב אצל דיסקלקולים. בנוסף יש עדויות לכך שה – IPS מעורב מאד במטלה של חציית קו פיסי.  אצל נשים עם תסמונת טרנר שאחד התסמינים שלה הם דיסקלקוליה נמצאה אבנורמליות ב – IPS הימני.  במטלת השוואה בין כמויות (בין מקבצים של נקודות), נמצאה ירידה בפעילות המוחית ב – IPS הימני אצל אנשים עם דיסקלקוליה.  גריה מוחית ל – IPS הימני שניתנת לאנשים ללא לקות בחשבון גורמת לדפוסי ביצוע דומים לאלה של אנשים עם דיסקלקוליה. 

לסיכום, מטלות של חציית ציר מספרים מנטלי וחציית קו פיסי יכולות ככל הנראה להבחין בין ילדים ומבוגרים עם ובלי דיסקלקוליה.  אצל אנשים ללא דיסקלקוליה נצפה להטיה קלה לצד שמאל בשתי המטלות הללו.  אצל אנשים עם דיסקלקוליה נצפה להעדר הטיה לצד שמאל במטלה של חצית קו פיסי ולהטיה חזקה יותר לצד שמאל במטלת חציה של ציר מספרים מנטלי.

האם כדאי להשתמש באומדן על ציר המספרים כמדד לתפיסה ולייצוג מנטלי של כמויות

 

 בתחום הקריאה קיימים מבחנים עם נורמות וקיים ידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק אצל ילד מתקשה.  לא כך בחשבון.  בתחום זה חסרים מבחנים עם נורמות וגוף הידע לגבי התפקודים הקוגניטיבים אותם חשוב לבדוק עדיין מתפתח.  בפוסט זה אעקוב אחר המהמורות בתהליך הפיתוח של מבחן/מטלת אומדן על ציר המספרים.  תהליך הפיתוח חושף בפנינו את הדרך בה ילדים בגילאים שונים ומבוגרים תופסים ומעבדים כמויות.

אחד הדברים שמקובל לבדוק אצל ילד שמתקשה בחשבון הוא מידת הדיוק בתפיסת כמות.  זו המידה שבה הילד יכול להבחין בהבדלים דקים בין כמויות (למשל בהבדל בין ערימה עם 11 חפצים לערימה עם 12 חפצים מאותו סוג).  תפיסת כמות עומדת ככל הנראה בבסיס תפקודים רבים בחשבון, ולכן חוקרים משערים שהיא קשורה לקשיים בחשבון אצל ילדים ומבוגרים.  

אחת הדרכים המקובלות לבדוק תפיסה וייצוג של כמויות אצל ילדים בגיל בי"ס יסודי ואילך ואצל מבוגרים היא באמצעות מטלת אומדן על ציר המספרים. במטלה זו הילד רואה ציר מספרים ריק כאשר רק שני קצותיו מסומנים.  בקצה השמאלי מופיעה הספרה 0 ובקצה הימני – 10 או 100 או 1000 וכדומה.  הילד מתבקש לאמוד את המיקום של מספר מסוים (למשל, 42) על הציר ולסמן מיקום זה בקו.  לאחר שהילד מבצע אומדנים רבים כאלה, הבוחן בודק את מידת הדיוק שלו באמצעות מדידת ההפרשים בין הסימונים של הילד על הצירים לבין המיקומים הנכונים של המספרים שאת מיקומם הילד אמד. 

במחקרים שהשתמשו במטלה זו נמצא שילדים צעירים מייצגים מספרים על ציר המספרים על פי סולם לוגריתמי.  בסולם כזה, המרחקים בין שני מספרים עוקבים הולכים וקטנים ככל שערכם של המספרים עולה.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 גדול מהמרחק בין 8 ל – 9.  ילד בגן או בכיתה א' עשוי למקם את המספר 9 במיקום של המספר 40 על ציר מספרים שבקצותיו 0 ו –  100.  המספר 9 "זז" ימינה אצל הילד מכיוון שהוא תופס את המרחקים בין המספרים 1-9 כגדולים מאד ביחס למרחקים בין המספרים האחרים.  לתפיסתו של הילד, המרחקים בין המספרים 1-9 תופסים  40% מהמקום על ציר מספרים של 0-100.

ככל שהילד גדל ונחשף לתרגילי חשבון וגם לעבודה עם ציר המספרים, ייצוג הכמויות שלו הופך להיות מדויק יותר והאומדנים שלו הופכים ליותר ויותר לינארים.  בסולם לינארי המרחקים בין שני מספרים עוקבים הם קבועים.  למשל, המרחק בין 1 ל – 2 זהה למרחק בין 8 ל – 9.  מידת פחותה של לינאריות של ציר המספרים של הילד ביחס למצופה לגילו יכולה להיות אחד הסמנים לקשיים בחשבון. 

מחקרים מצאו מתאם בין הביצוע במטלה של אומדן על ציר המספרים לבין ביצוע במטלות חשבון כמו מניה, חשבון בסיסי (ובמיוחד חיסור) ואלגברה.  ילדים עם לקות למידה בחשבון מתקשים באומדן על ציר המספרים.  יכולת אומדן על ציר המספרים קשורה ליכולת עתידית ללמוד תרגילי חיבור.  אימון באומדן גורם לשיפור במבחן חיבור.   

כל זה נראה היה די מבטיח עד שלאחרונה החלו חוקרים מסוימים לומר שמטלת האומדן על ציר המספרים אינה בודקת את מה שהיא אמורה לבדוק.  חוקרים אלה הבחינו שילדים ומבוגרים מבצעים את מטלת האומדן באמצעות אסטרטגיות.  למשל, הם מחלקים את ציר המספרים לחצאים או לרבעים (בצורה מנטלית; אסור לסמן נקודות אלה על הציר במהלך ביצוע המטלה).  לאחר מכן הם משתמשים בנקודות ייחוס אלה כדי למקם את המספר שאת מיקומו הם אומדים.  למשל, כאשר הילד מתבקש למקם את המספר 42 על ציר של 0-100, הוא מאתר את נקודת האמצע, בה יהיה המספר 50, ומכיוון ש - 42 קטן מ – 50, הילד זז שמאלה מ – 50 כדי לאמוד את מיקומו.  כך פעולת האומדן מושפעת מידע על המבנה העשרוני של המספר ומיכולת ליצור אסטרטגיה.  לכן אין להתפלא על כך שקיים מתאם בינה לבין מטלות שבודקות חשבון.  בגלל שהיא נשענת על ידע על המבנה העשרוני של המספר, חוקרים אלה טוענים שמטלת האומדן על ציר המספרים לא בודקת את תפיסת הכמות באופן "נקי". 

כדי להתגבר על בעיה זו המציאו החוקרים גירסה חדשה של המטלה:  ציר מספרים בלתי תחום.  בציר כזה, מסומנת הספרה 0 בקצה השמאלי של הציר, בעוד הקצה הימני שלו נשאר ריק.  משמאל לספרה 0 וקרוב מאד אליה מסומן מקטע שיש לו ערך מסוים, למשל 1 או 4 או 10 או אפילו 100.  הילד או המבוגר משתמש במקטע זה כדי לאמוד את מיקום המספר אותו הוא מתבקש לאמוד.  מטלה זו אמורה לבדוק את תפיסת הכמות באופן "נקי" יותר מכיוון שלא ניתן להיאחז בשתי קצוות הציר כדי לחלק אותו לחצאים ולרבעים. 

בתמונה למטה ניתן לראות שני צירי מספרים תחומים (העליונים) ושני צירי מספרים בלתי תחומים (התחתונים). 

מטלה של ציר מספרים לא תחום מושפעת ככל הנראה פחות מהגיל וההתפתחות ולכן עשויה להעיד על איכות תפיסת הכמות המולדת.  מצד שני היא גם פחות קשורה לביצועים בחשבון אצל ילדים בבי"ס יסודי ועד כיתה ז'. האם משמעות הדבר היא שתפיסת כמות אינה משפיעה על ביצועים בחשבון?  בכל מקרה, אם מטלה זו אינה קשורה לביצועים בחשבון, קשה להצדיק את השימוש בה כדי לאתר את המקור לקשיים אצל ילדים שמתקשים בחשבון, אלא אם כן יוכח מחקרית שילדים שמתקשים בחשבון מתקשים יותר גם בביצוע במטלה של ציר מספרים לא תחום.  למיטב ידיעתי עדיין לא פורסם מחקר כזה בילדים.  van Wijk  מצא בתזה לתואר שני שלא פורסמה שאין הבדל ביכולת האומדן על ציר מספרים לא תחום בין ילדים עם לקות למידה בחשבון לבין ילדים ללא לקות למידה בחשבון.  גם בין מבוגרים עם ובלי דיסקלקוליה לא נמצאו הבדלים בביצוע אומדן על ציר מספרים בלתי תחום  (van der Weijden et al., 2018). 

אם כך, יש למצוא מטלת אומדן על ציר מספרים שבה לא ניתן להשתמש באסטרטגיה מצד אחד, ושיש מתאם בינה לבין ביצועים במבחני חשבון מצד שני. 

 

van der Weijden, F.A., Kamphorst, E., Willemsen, R.H., Kroesbergen, E.H., & van Hoogmoed, A.H. (2018). Strategy use on bounded and unbounded number lines in typically developing adults and adults with dyscalculia: An eye-tracking study. Journal of Numerical Cognition, 4, 337-359.

Jung, S., Roesch, S., Klein, E., Dackermann, T., Heller, J., & Moeller, K. (2020). The strategy matters: Bounded and unbounded number line estimation in secondary school children. Cognitive Development, 53, 100839.

Link, T., Nuerk, H. C., & Moeller, K. (2014). On the relation between the mental number line and arithmetic competencies. Quarterly Journal of Experimental Psychology, 67(8), 1597-1613.